حل معادلة القيمة المطلقة (|ax + b| = c)

آخر تحديث: 2026-05-19

ما هي معادلة القيمة المطلقة؟

معادلة القيمة المطلقة من الشكل $|ax + b| = c$ تسأل عن كل قيمة $x$ يبلغ فيها التعبير الخطي $ax + b$ مسافةً مقدارها $c$ من الصفر على خط الأعداد. تتعامل هذه الحاسبة مع الحالات الثلاث الممكنة: حلان مختلفان، أو حل وحيد، أو لا حل حقيقي.

فكرة الحل الأساسية

مفتاح الحل هو أن $|u| = c$ يعني $u = c$ أو $u = -c$، لأن كلا العددين يقعان على بُعد $c$ من الصفر. ينقسم ذلك إلى معادلتين خطيتين عاديتين:

$$ax + b = c \quad \text{و} \quad ax + b = -c$$

نعزل $x$ في كل منهما (بشرط $a \neq 0$):

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

الحالات الثلاث

الحالة الأولى: c > 0 — حلان مختلفان

حين يكون $c$ موجباً، تعطي المعادلتان قيمتين مختلفتين لـ $x$، وكلتاهما تُحقّق المعادلة الأصلية.

مثال محلول: حلّ $|2x - 3| = 7$.

نحدد المعاملات: $a = 2$، $b = -3$، $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

التحقق: $|2 \cdot 5 - 3| = |7| = 7$ و$|2 \cdot (-2) - 3| = |-7| = 7$، كلاهما يحقق المعادلة.

الحالة الثانية: c = 0 — حل وحيد

حين يكون $c = 0$، تتحوّل المعادلتان إلى $ax + b = 0$ واحدة، ويتطابق الحلان:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

مثال: $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4/2 = 2$.

الحالة الثالثة: c < 0 — لا يوجد حل حقيقي

القيمة المطلقة دائماً غير سالبة: $|ax + b| \geq 0$ لكل $x$ حقيقي. لذلك تستحيل مساواتها بعدد سالب. المعادلة لا حل لها.

مثال: $|2x - 3| = -5$ لا حل حقيقياً لها.

المعنى الهندسي

على خط الأعداد، $|u|$ هي المسافة من النقطة $u$ إلى الصفر. فالمعادلة:

$$|ax + b| = c$$

تسأل: «لأي قيم $x$ يقع $ax + b$ على بُعد $c$ بالضبط من الصفر؟» بما أن المسافة متماثلة في الاتجاهين، توجد نقطتان بهذه الصفة هما $+c$ و$-c$، مما يعطي حلَّين على الأكثر.

هذا التفسير الهندسي يوضّح أيضاً لماذا ينعدم الحل حين $c < 0$: المسافة لا تكون سالبة أبداً.

الحالة الخاصة: a = 0

إذا كان $a = 0$، تصبح المعادلة $|b| = c$، وهي مسألة حسابية بحتة لا تتضمن $x$ على الإطلاق. تُعاملُ الحاسبة $a = 0$ إدخالاً غير صالح وتعرض رسالة خطأ، لأن الحد المتضمن للمجهول يختفي.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

لماذا تملك معادلة القيمة المطلقة حلَّين؟

تعني |ax + b| = c أن التعبير داخل القيمة المطلقة يساوي إما c أو −c، إذ يملك كلا العددين القيمةَ المطلقة ذاتها. ينقسم ذلك إلى معادلتين خطيتين: ax + b = c وax + b = −c، لكل منهما حل مستقل. فإن كان c > 0 أعطت كل معادلة حلاً مختلفاً، وإن كان c = 0 اندمجتا في معادلة واحدة فأعطتا حلاً واحداً.

ماذا يحدث إذا كان c سالباً؟

القيمة المطلقة دائماً غير سالبة: |ax + b| ≥ 0 لكل x حقيقي. لذلك يستحيل أن تساوي عدداً سالباً. إذا كان c < 0 فالمعادلة |ax + b| = c لا حل حقيقياً لها على الإطلاق.

ما المعنى الهندسي للقيمة المطلقة؟

على خط الأعداد، |x| هي المسافة بين النقطة x والنقطة صفر. وبشكل عام، |ax + b| تمثّل المسافة بين ax + b والصفر. فحل |ax + b| = c يعني: «لأي قيم x تقع نتيجة ax + b على بُعد c تماماً من الصفر؟» توجد نقطتان بهذه الصفة هما c و−c، مما يعطي حلَّين على الأكثر.

ما الفرق بين معادلة القيمة المطلقة ومتراجحة القيمة المطلقة؟

معادلة القيمة المطلقة (|ax + b| = c) تبحث عن قيم x محددة يساوي فيها التعبيرُ c، فتعطي مجموعة حلول محدودة. أما متراجحة القيمة المطلقة (|ax + b| < c أو |ax + b| > c) فتبحث عن نطاق من قيم x يكون فيه التعبير أصغر أو أكبر من c، فتعطي فترة حلول بدلاً من نقاط معزولة.