حاسبة الاحتمال الثنائي

آخر تحديث: 2026-05-18

ما هو التوزيع ذو الحدين؟

يُنمذِج التوزيع ذو الحدين عدد النجاحات في عدد محدد من التجارب المستقلة، إذ تتمتع كل تجربة باحتمال نجاح ثابت. قذف عملة معدنية 10 مرات وحصر الصور، أو فحص 100 منتج وتسجيل العيوب، أو استطلاع رأي 50 ناخباً — كل هذه الحالات تتبع النموذج ذا الحدين حين تنتهي كل تجربة بأحد نتيجتين فحسب وتكون التجارب مستقلة عن بعضها.

الصيغ الرياضية

لـ $n$ تجربة، و $k$ نجاحاً، واحتمال نجاح $p$ في كل تجربة:

عدد التوافيق (طرق اختيار $k$ نجاحاً من $n$ تجربة):

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

الاحتمال الدقيق:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

الاحتمال التراكمي (على الأكثر $k$ نجاحاً):

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

على الأقل $k$ نجاحاً:

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

الوسط الحسابي والانحراف المعياري:

\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

مثال محلول: قذف عملة معدنية

اقذف عملة متوازنة ($p = 0.5$) عشر مرات. ما احتمال ظهور الصورة 3 مرات بالضبط؟

P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0.117

أي ما يعادل 11.7% تقريباً. الاحتمال التراكمي لظهور 3 صور أو أقل:

P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17.2\%

وظهور 3 صور أو أكثر: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94.5\%$ .

تطبيقات عملية

ضبط الجودة: مصنع ينتج براغي بمعدل عيوب 2%. عند فحص دفعة من 50 قطعة، ما احتمال وجود أكثر من قطعتين معيبتين؟ استخدم $n = 50$، $p = 0.02$ واحسب $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$ .

التجارب السريرية: دواء بمعدل نجاح 70%. في دراسة على 20 مريضاً، ما احتمال أن يستجيب 15 مريضاً على الأقل للعلاج؟ استخدم $n = 20$، $p = 0.7$ واحسب $P(X \geq 15)$ .

استطلاعات الرأي: في مدينة يؤيد فيها 40% من السكان سياسة معينة، ما احتمال أن يكون من بين 12 ناخباً مختاراً عشوائياً 5 مؤيدين بالضبط؟

التقريب بالتوزيع الطبيعي

عند كبر $n$ ، يقترب شكل التوزيع ذي الحدين من منحنى الجرس. يكون التقريب $X \approx N(\mu, \sigma^2)$ موثوقاً عندما:

np \geq 5 \quad \text{و} \quad n(1-p) \geq 5

يُطبَّق تصحيح الاستمرارية: $P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Z < k + 0.5)$ ، حيث $Z$ يتبع التوزيع الطبيعي المعياري.

عند $n = 10$، $p = 0.5$: تقع $np = 5$ عند الحد الأدنى، فيكون التقريب خشناً. أما عند $n = 100$ فأكثر، فيصبح التقريب دقيقاً جداً.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة الاحتمال الثنائي؟

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)، حيث C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) هو عدد طرق اختيار k نجاح من n تجربة. مثال: احتمال الحصول على 3 صور بالضبط في 10 رميات لعملة معدنية نظيفة: P = C(10,3) × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0.1172 (نحو 11.72%).

كيف يُحسب الاحتمال الثنائي التراكمي؟

P(X ≤ k) هو مجموع P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). للحصول على 3 صور أو أقل في 10 رميات: P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0.172. أما الاحتمال التكميلي P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) فيعبر عن احتمال الحصول على k نجاح أو أكثر.

ما المتوسط والانحراف المعياري للتوزيع الثنائي؟

المتوسط: μ = n × p. الانحراف المعياري: σ = √(np(1−p)). في 10 تجارب مع p = 0.5: μ = 5 وσ = √2.5 ≈ 1.58. يعبر المتوسط عن العدد المتوقع من النجاحات، فيما يقيس الانحراف المعياري مدى تشتت النتائج حول تلك القيمة.

متى يمكن تقريب التوزيع الثنائي بالتوزيع الطبيعي؟

يكون التقريب الطبيعي مناسبا عندما يتحقق np ≥ 5 و n(1−p) ≥ 5. عندئذ يصبح X ≈ Normal(μ, σ²) مع μ = np و σ² = np(1−p). مع تطبيق تصحيح الاستمرارية: P(X = k) ≈ P(k−0.5 < Z < k+0.5). عند n = 10 و p = 0.5 تقع np = 5 عند الحد تماما؛ ويصبح التقريب أكثر موثوقية بصورة ملحوظة عند n ≥ 30.

حاسبة الاحتمال الثنائي

المعلمات

تفاصيل

الاحتمالات

التوزيع

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة فترة الثقة

حاسبة الإحصاء الوصفي

حاسبة التوافيق — C(n, r)

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

المدخلات