حاسبة الدائرة المحيطة بالمثلث

آخر تحديث: 2026-05-20

الدائرة المحيطة بالمثلث

الدائرة المحيطة بالمثلث (أو الدائرة المحيطة) هي الدائرة الوحيدة التي تمر عبر رؤوسه الثلاثة. نصف قطرها $R$ يُسمى نصف القطر المحيط، ومركزها يُسمى مركز الدائرة المحيطة. تحسب هذه الأداة $R$ ومساحة الدائرة المحيطة ومحيطها انطلاقاً من أطوال الأضلاع الثلاثة $a$ و$b$ و$c$ فحسب.

لكل مثلث دائرة محيطة واحدة بالضبط، وهذه خاصية مميزة للمثلثات لا تنطبق على الأشكال الرباعية العامة. وتحتل الدائرة المحيطة مكانة محورية في الهندسة الكلاسيكية، إذ يظهر نصف قطرها في علم المثلثات والملاحة الفلكية على حدٍّ سواء.

حساب نصف القطر المحيط

تجمع الصيغة القياسية بين قاعدة هيرون لحساب مساحة المثلث وحاصل ضرب الأضلاع:

الخطوة الأولى — نصف المحيط:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

الخطوة الثانية — مساحة المثلث (قاعدة هيرون):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

الخطوة الثالثة — نصف القطر المحيط:

$R = \frac{abc}{4S}$

مثال محلول — المثلث 6-8-10:

$s = \frac{6+8+10}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24$

$R = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5$

مساحة الدائرة المحيطة إذن $\pi R^2 \approx 78.54$ ومحيطها $2\pi R \approx 31.42$.

وهذا المثلث قائم الزاوية (لأن $6^2 + 8^2 = 10^2$)، مما يُؤكد قاعدة عامة: في المثلث القائم يساوي $R$ دائماً نصف الوتر، أي $R = 10/2 = 5$.

موضع مركز الدائرة المحيطة

مركز الدائرة المحيطة $O$ هو النقطة المتساوية البُعد عن الرؤوس الثلاثة. هندسياً، يقع عند تقاطع المنصِّفات العمودية للأضلاع الثلاثة. ويتفاوت موضعه بحسب نوع المثلث:

نوع المثلث	موضع المركز
حاد (جميع الزوايا < 90°)	داخل المثلث
قائم (إحدى الزوايا = 90°)	عند منتصف الوتر
منفرج (إحدى الزوايا > 90°)	خارج المثلث

حالة المثلث القائم مفيدة للتحقق: في مثلث أضلاعه 3 و4 و5، يقع المركز عند منتصف الوتر 5، فيكون $R = 5/2 = 2.5$ — وهو ما يتطابق مع الصيغة $R = abc/(4S) = 60/24 = 2.5$.

الصلة بقانون الجيب

لنصف القطر المحيط علاقة رياضية أنيقة بزوايا المثلث عبر قانون الجيب الموسَّع:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

هذا يعني أن $R$ يساوي نصف نسبة أي ضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له. كما يفسر نتيجة المثلث القائم: عندما تكون $C = 90°$، يكون $\sin C = 1$، فينتج $2R = c$، أي $R = c/2$.

الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة

الدائرة المحاطة (أو المنقوشة) توجد داخل المثلث وتُماسّ أضلاعه الثلاثة. نصف قطرها $r$ هو:

$r = \frac{S}{s}$

وتتحقق دائماً المتباينة $R \geq 2r$: نصف القطر المحيط أكبر دائماً من ضعف نصف القطر المحاط، ولا تبلغ النسبة $R/r$ حدها الأدنى البالغ 2 إلا في المثلث المتساوي الأضلاع. في مثلث 3-4-5: $R = 2.5$ و$r = 6/6 = 1$، فتكون $R/r = 2.5$ — أكبر من الحد الأدنى.

كلا النصفين يعتمدان على مساحة المثلث $S$ ونصف محيطه $s$، غير أنهما يُعبِّران عن خصائص هندسية مختلفة: $R$ يتعلق بامتداد المثلث نحو الخارج، بينما يتعلق $r$ بالمساحة الداخلية المتاحة.

متباينة المثلث

لا تُعطي الصيغة نتيجة حقيقية إلا إذا كانت الأضلاع الثلاثة تُشكِّل مثلثاً صحيحاً. تشترط متباينة المثلث:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

إذا لم تتحقق إحدى هذه الشروط، فلا وجود لمثلث. فمثلاً، الأضلاع 1 و2 و10 لا تُشكِّل مثلثاً لأن $1 + 2 = 3 < 10$ — وستُعطي قاعدة هيرون قيمة سالبة تحت الجذر، مما يجعل $R$ غير معرَّف.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما المقصود بنصف القطر المحيط للمثلث؟

نصف القطر المحيط R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث — وهي الدائرة الوحيدة التي تمر عبر رؤوسه الثلاثة. لمثلث أضلاعه a و b و c ومساحته S، تكون الصيغة: R = abc ÷ (4S). في المثلث القائم 3-4-5: المساحة S = 6، إذن R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2.5. وبوجه عام، في أي مثلث قائم يساوي R نصف الوتر تماماً.

أين يقع مركز الدائرة المحيطة؟

مركز الدائرة المحيطة O هو النقطة المتساوية البُعد عن الرؤوس الثلاثة، ويقع عند تقاطع المنصِّفات العمودية للأضلاع الثلاثة. في المثلث الحاد تقع هذه النقطة داخل المثلث. في المثلث القائم تقع عند منتصف الوتر تماماً. أما في المثلث المنفرج فتقع خارج المثلث على الجانب البعيد من الضلع الأطول.

ما الفرق بين الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بالمثلث؟

الدائرة المحيطة تمر عبر الرؤوس الثلاثة ونصف قطرها R = abc ÷ (4S). الدائرة المحاطة (المنقوشة) تُماسّ الأضلاع الثلاثة من الداخل ونصف قطرها r = S ÷ s، حيث s = (a + b + c) ÷ 2 هو نصف المحيط.

في المثلث القائم 3-4-5: R = 2.5 و r = 1. تتحقق دائماً المتباينة R ≥ 2r: نصف القطر المحيط أكبر دائماً من ضعف نصف القطر المحاط، ولا تبلغ النسبة R/r حدها الأدنى 2 إلا في المثلث المتساوي الأضلاع.

ما العلاقة بين نصف القطر المحيط وقانون الجيب؟

ينص قانون الجيب الموسَّع على أن a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R. أي أن نصف القطر المحيط يساوي نصف نسبة أي ضلع إلى جيب الزاوية المقابلة له.

مثلاً، إذا كان a = 5 و sin A = 0.6، فإن R = 5 ÷ (2 × 0.6) ≈ 4.17. هذا يفسر لماذا يساوي نصف القطر في المثلث القائم (sin 90° = 1) نصف الوتر، كما يُثبت أن النسب الثلاث جميعها متساوية لأي مثلث.