حاسبة الضرب الاتجاهي (متجهات ثلاثية الأبعاد)

احسب ضرب المتجهات (الضرب الاتجاهي) لمتجهين ثلاثيين — المركبات، المقدار، ومساحة متوازي الأضلاع — باستخدام طريقة المحدد مع خطوات حل تفصيلية.

المدخلات

النتائج

\begin{aligned} c_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ &= (2)(6) - (3)(5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ &= (3)(4) - (1)(6) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ &= (1)(5) - (2)(4) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} |\mathbf{c}| &= \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \\ &= \sqrt{(?)^2 + (?)^2 + (?)^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \\ &= ? \end{aligned}

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

ما هو الضرب الاتجاهي؟

الضرب الاتجاهي لمتجهين أ وب في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو متجه ثالث ج = أ × ب يكون عمودياً على كليهما، ومقداره يساوي |أ||ب|sin θ، حيث θ هي الزاوية المحصورة بينهما.

الصيغة الرياضية

يُعرَّف الضرب الاتجاهي بتوسيع المحدد ثلاثي الصفوف:

a×b=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2) i−(a1b3−a3b1) j+(a1b2−a2b1) k\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}

توسيع العوامل المصاحبة يعطي ثلاث مركبات قياسية:

c1=a2b3−a3b2,c2=a3b1−a1b3,c3=a1b2−a2b1c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

مقدار الضرب الاتجاهي — وهو أيضاً مساحة متوازي الأضلاع المحدد بـأ وب — يُحسب بالعلاقة:

∣a×b∣=c12+c22+c32|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}

قاعدة اليد اليمنى

اتجاه أ × ب يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى: أشر بأصابع يدك اليمنى في اتجاه أ، ثم قوّسها نحو ب عبر الزاوية الأصغر، فيشير إبهامك إلى اتجاه أ × ب. ينبثق من هذه القاعدة أن الضرب الاتجاهي ضد تبادلي: ب × أ = −(أ × ب)، أي أن عكس ترتيب المتجهين يعكس اتجاه الناتج.

مثال محلول

ليكن أ = (1, 2, 3) وب = (4, 5, 6).

c1=(2)(6)−(3)(5)=12−15=−3c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3 c2=(3)(4)−(1)(6)=12−6=6c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6 c3=(1)(5)−(2)(4)=5−8=−3c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3

إذن أ × ب = (−3, 6, −3)، ومقداره:

(−3)2+62+(−3)2=9+36+9=54=36≈7.348\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348

وهذا أيضاً يمثل مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه أ وب.

التفسير الهندسي

مقدار |أ × ب| يعطي مساحة متوازي الأضلاع الذي يُشكّل أ وب ضلعين متجاورين فيه. نصف هذه المساحة يساوي مساحة المثلث المحدد بهذين المتجهين — نتيجة تُستخدم في الهندسة الفراغية ورسومات الحاسوب لحساب مساحة السطح انطلاقاً من إحداثيات الرؤوس.

حين يكون المتجهان متوازيين، يصبح sin θ = 0، فيكون أ × ب = 0. يُشكّل هذا اختباراً مفيداً للتوازي: إذا كان حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي حافة يساوي المتجه الصفري، فالنقاط المقابلة خطية (تقع على مستقيم واحد).

الضرب الاتجاهي وعدد الأبعاد

يستلزم الضرب الاتجاهي القياسي ثلاثة أبعاد بالتحديد لإنتاج متجه وحيد عمودي على متجهين معطيين بصيغة المحدد. في البُعدين لا يوجد محور ثالث، وفي أربعة أبعاد أو أكثر تتعدد الاتجاهات العمودية ولا يوجد متجه وحيد. يوجد تعميم في سبعة أبعاد يعتمد جبر الأوكتونيات، غير أن الصورة ثلاثية الأبعاد تغطي جميع التطبيقات العملية في الفيزياء والهندسة ورسومات الحاسوب.

التطبيقات

يظهر الضرب الاتجاهي في كل سياق يتطلب محوراً عمودياً أو حساب مساحة:

  • عزم الدوران: τ = r × F، حيث r ذراع الرافعة وF القوة المؤثرة.
  • كمية الحركة الزاوية: L = r × p.
  • متجهات الوحدة العمودية للسطح: في المعالجة ثلاثية الأبعاد، الوحدة العمودية لمضلع مثلثي تُحسب بالضرب الاتجاهي لمتجهي حافتين.
  • قوة لورنتز المغناطيسية: F = q(v × B).
  • مساحة المثلث: نصف مقدار الضرب الاتجاهي لمتجهي ضلعين.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي؟

الضرب الاتجاهي أ × ب ينتج متجهاً عمودياً على كل من أ وب. اتجاهه يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى، ومقداره يساوي |أ||ب|sin θ، حيث θ هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. هندسياً، يمثل هذا المقدار مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه أ وب. إذا كان أ × ب = 0، فالمتجهان متوازيان أو أحدهما متجه صفري.

كيف تُطبَّق قاعدة اليد اليمنى في الضرب الاتجاهي؟

أشر بأصابع يدك اليمنى في اتجاه أ، ثم قوّسها نحو ب عبر الزاوية الأصغر؛ سيشير إبهامك إلى اتجاه أ × ب. والجدير بالذكر أن الضرب الاتجاهي ضد تبادلي: ب × أ = −(أ × ب)، أي أن عكس ترتيب المتجهين يقلب اتجاه الناتج.

لماذا يُعرَّف الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد فقط؟

يحتاج الضرب الاتجاهي القياسي إلى ثلاثة أبعاد بالتحديد لإنتاج متجه عمودي على متجهين معطيين باستخدام صيغة المحدد. في البُعدين لا يوجد محور ثالث، وفي أربعة أبعاد أو أكثر تتعدد الاتجاهات العمودية على متجهين. يوجد تعميم في سبعة أبعاد يعتمد جبر الأوكتونيات، غير أن الصورة ثلاثية الأبعاد هي الأوسع استخداماً في الفيزياء والهندسة ورسومات الحاسوب.

متى يكون الضرب الاتجاهي مساوياً للصفر؟

يساوي أ × ب متجه الصفر حين يكون المتجهان متوازيين (بما في ذلك المتوازيان المتعاكسان)، أو حين يكون أحدهما متجهاً صفرياً. في هذه الحالة sin θ = 0، فيصبح المقدار |أ||ب|sin θ = 0. من الناحية الهندسية، المتجهان المتوازيان لا يحددان مساحة، فيتحول متوازي الأضلاع إلى مستقيم.

التالي الموصى به

حاسبة مقدار المتجه

احسب مقدار (طول) المتجه والمتجه الوحدوي لأي متجه n-بعدي من مركباته المفصولة بفواصل. يدعم المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد وما هو أعلى.

 اعرف المزيد
حاسبة المسافة بين نقطتين

احسب المسافة المستقيمة بين نقطتين بقانون d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). احصل على Δx وΔy والمسافة d فوراً.
حاسبة مبرهنة فيثاغورس

احسب أيَّ ضلع في مثلث قائم الزاوية باستخدام مبرهنة فيثاغورس (a² + b² = c²). أدخِل ضلعين لإيجاد الثالث.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗