حاسبة المكعب — الحجم والمساحة والأقطار

آخر تحديث: 2026-05-19

تعريف المكعب وخصائصه الهندسية

المكعب متوازي مستطيلات تتساوى فيه الأبعاد الثلاثة، أي أن كل أوجهه الستة مربعات متطابقة وجميع أضلاعه الاثني عشر بطول واحد. تكفي معرفة طول الضلع s لتحديد جميع خصائصه الهندسية: الحجم، ومساحة السطح، وقطر الوجه، والقطر الفراغي، ومجموع أطوال الأضلاع.

الصيغ الرياضية

لمكعب طول ضلعه s:

الكمية	الصيغة	المعنى
الحجم	V = s³	المساحة الداخلية للمكعب
مساحة السطح	A = 6s²	مجموع مساحات الوجوه الست
قطر الوجه	$d_f = s\sqrt{2}$	قطر أحد الوجوه المربعة
القطر الفراغي	$d_s = s\sqrt{3}$	يصل رأسين متقابلين عبر الداخل
مجموع أطوال الأضلاع	L = 12s	مجموع الأضلاع الاثني عشر

لماذا تساوي مساحة السطح 6s²؟

يتكون المكعب من 6 وجوه مربعة متساوية، مساحة كل منها s². مجموعها هو 6 × s². عند s = 10 cm: A = 6 × 100 = 600 cm².

اشتقاق قطر الوجه

كل وجه مربع طول ضلعه s. يُستخرج قطره بنظرية فيثاغورس:

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

عند s = 10 cm: $d_f = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ cm.

اشتقاق القطر الفراغي

القطر الفراغي يصل بين رأسين متقابلين مخترقاً داخل المكعب. نطبق فيثاغورس في ثلاثة أبعاد: نستخدم قطر الوجه أساساً ثم نضيف البعد الثالث:

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

عند s = 10 cm: $d_s = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ cm. القطر الفراغي دائماً أطول من قطر الوجه ($\sqrt{3} > \sqrt{2}$).

العلاقة بمتوازي المستطيلات

المكعب متوازي مستطيلات حيث l = w = h = s. بالتعويض في الصيغ العامة:

• V = l·w·h → s·s·s = s³
• A = 2(lw + lh + wh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• القطر الفراغي = $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

النمو التكعيبي: التناسب مع مكعب الضلع

بما أن الحجم يتناسب مع s³، فإن زيادة بسيطة في طول الضلع تؤدي إلى زيادة كبيرة في الحجم:

مضاعف الضلع	مضاعف الحجم	مضاعف المساحة
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

صندوق مكعب بضلع 20 cm يسع ثمانية أضعاف صندوق بضلع 10 cm، رغم أنه يبدو بالعين المجردة أكبر مرتين فحسب.

أمثلة محلولة

مثال 1 — مكعب الثلج

مكعب الثلج المعتاد له ضلع s ≈ 2.5 cm (0.025 m).

الحجم: V = 0.025³ ≈ 15.6 cm³ ≈ 15.6 mL
مساحة السطح: A = 6 × 0.025² = 37.5 cm²
القطر الفراغي: $d_s = 0.025 \times \sqrt{3} \approx 4.33$ cm

مثال 2 — صندوق شحن

صندوق شحن مكعب الشكل بضلع s = 30 cm:

الحجم: V = 30³ = 27,000 cm³ = 27 لتراً
مساحة السطح: A = 6 × 900 = 5,400 cm² من الكرتون
مجموع أطوال الأضلاع: L = 12 × 30 = 360 cm من شريط التغليف

مثال 3 — إيجاد الضلع من الحجم

إذا كان الحجم V = 1,000 cm³، فطول الضلع هو:

s = ∛V = ∛1000 = 10 cm

وإذا كان V = 8 m³: s = ∛8 = 2 m.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أحسب القطر الفراغي للمكعب؟

القطر الفراغي للمكعب ذي الضلع s يساوي d = s√3، وهو الخط الذي يصل بين رأسين متقابلين عبر داخل المكعب. مثلاً، إذا كان s = 10 cm فإن d = 10√3 ≈ 17.32 cm.

ما الفرق بين قطر الوجه والقطر الفراغي في المكعب؟

قطر الوجه يقع على إحدى الوجوه المربعة ويساوي s√2، أما القطر الفراغي فيخترق داخل المكعب ليصل بين رأسين متقابلين ويساوي s√3. عند s = 10 cm: قطر الوجه ≈ 14.14 cm والقطر الفراغي ≈ 17.32 cm.

كيف أجد طول ضلع المكعب إذا عرفت حجمه؟

من المعادلة V = s³ نستخرج s = ∛V. مثلاً، إذا كان V = 1000 cm³ فإن s = ∛1000 = 10 cm، وإذا كان V = 8 m³ فإن s = 2 m.

لماذا تساوي مساحة سطح المكعب 6s²؟

يتكون المكعب من 6 وجوه مربعة متساوية، مساحة كل منها s². ومجموع هذه الوجوه هو A = 6s². عند s = 5 cm: A = 6 × 25 = 150 cm².