حاسبة احتمال النرد

آخر تحديث: 2026-05-16

ما هو احتمال النرد؟

احتمال النرد هو القيمة العددية الدقيقة التي تصف نسبة النواتج التي تبلغ مجموعها قيمةً مستهدفةً أو تتجاوزها إلى مجموع النواتج الممكنة. يُحدَّد هذا الاحتمال بثلاثة معاملات: عدد النردات $N$، وعدد أوجه كل نرد $S$، والمجموع المستهدف $T$. تعيد الأداة هذا الاحتمال كسرًا مختزلًا ومكافئه العشري.

كيف يُحسب الاحتمال

يُحسب احتمال الحصول على مجموع لا يقل عن قيمة مستهدفة بالخطوات التالية:

1. حصر جميع النتائج المتساوية الاحتمال (المجموع الكلي = $S^N$)
2. حصر النتائج التي يكون فيها المجموع $\geq T$
3. قسمة الناتج وتبسيطه إلى كسر مختزل

يُحسب عدد النواتج التي يكون مجموعها $\leq K$ لـ $N$ من النرد ذي $S$ وجوه باستخدام صيغة الاحتواء والاستبعاد (inclusion-exclusion) المُغلقة:

$$\#\{\text{المجموع} \leq K\} = \sum_{j=0}^{\lfloor(K-N)/S\rfloor} (-1)^j \binom{N}{j} \binom{K - jS}{N}$$

بتطبيق هذه الصيغة مرّة عند $K = T - 1$ ومرّة عند $K = N \cdot S$ نحصل بدقّة على عدد النواتج التي يكون مجموعها $\geq T$. الكسر الظاهر هو قيمة دقيقة رياضيًا.

$$P(\text{المجموع} \geq T) = \frac{\text{النتائج التي يكون مجموعها} \geq T}{S^N}$$

نطاق المجاميع الممكنة

عند رمي $N$ نردة ذات $S$ وجه:

• أصغر مجموع ممكن = $N$ (كل نرد يُظهر 1)
• أكبر مجموع ممكن = $N \times S$ (كل نرد يُظهر القيمة القصوى)

إذا كان $T \leq N$ فالاحتمال يساوي 1 (الهدف يُبلَّغ دائمًا). إذا كان $T > N \times S$ فالاحتمال يساوي 0 (مستحيل). في كل الحالات الأخرى يظهر كسر حقيقي.

نتائج مرجعية شائعة

التكوين	الهدف	الاحتمال	العشري
1d6	≥ 4	3/6 = 1/2	0.5000
2d6	≥ 7	21/36 = 7/12	0.5833
2d6	≥ 10	6/36 = 1/6	0.1667
3d6	≥ 10	135/216 = 5/8	0.6250
1d20	≥ 15	6/20 = 3/10	0.3000
2d10	≥ 11	55/100 = 11/20	0.5500

نتيجة 2d6 ≥ 7 بالاحتمال 7/12 ≈ 58.3% هي المثال الكلاسيكي المُدرَّس في مقررات نظرية الاحتمالات المتقطعة: رمي نردتين قياسيتين يُرجَّح معه بلوغ 7 أو تجاوزها أكثر مما يُرجَّح عدم بلوغها.

أهمية الكسور الدقيقة

الرقم العشري 0.5833 لا يُظهر ما إذا كان الاحتمال هو 7/12 بالضبط أم تقريبًا لعدد غير نسبي. أما الكسر الدقيق فيكشف:

• المقام = إجمالي النتائج المتساوية الاحتمال ($6^2 = 36$، مختزل إلى 12 بعد القاسم المشترك الأكبر)
• البسط = النتائج المواتية (21، مختزلة إلى 7)

في تعليم الرياضيات والاحتمالات يربط الكسر النتيجةَ العددية بحجة العد الأساسية، مما يُعمّق الفهم ويُيسّر التحقق اليدوي.

تطبيقات عملية

ألعاب الطاولة ولعب الأدوار — كثير من الميكانيكيات القائمة على النرد تتلخص في «أرمِ هذه المجموعة وابلغ هذه العتبة على الأقل». معرفة الاحتمالات الدقيقة تُساعد مصممي الألعاب على ضبط مستوى الصعوبة والمشاركين على اتخاذ قرارات مبنية على معرفة دقيقة.

مقررات الاحتمالات والإحصاء — مسألة النرد مثال كلاسيكي للاحتمالات المتقطعة، يُدرَّس في المرحلة الثانوية والجامعية على حدٍّ سواء. الحساب اليدوي لـ 2d6 ممكن؛ أما لـ 4d8 أو 3d12 فتصبح الأداة الحاسوبية ضرورة.

تحليل ألعاب الحظ — ألعاب كالنرد المزدوج وبعض ألعاب الكازينو التي تستخدم نردات ثابتة مع أهداف محددة تستفيد من الكسور الدقيقة للتحقق من حساب هامش الربح.

بناء الحدس الاحتمالي — التأمل في سبب كون احتمال 2d6 ≥ 7 أعلى من احتمال 2d6 ≥ 8 بمقدار 6/36 بالضبط يُرسّخ الحدس حول كيفية توزع الكتلة الاحتمالية عبر التوزيع المتقطع.

قراءة النتائج

تُعيد الأداة حقلين:

• الاحتمال (كسر) — الكسر المختزل، مثلًا 7/12. إذا تجاوز المقام الحد الداخلي للعرض يظهر كسر مبسّط تقريبي.
• الاحتمال (عشري) — القيمة نفسها بستة خانات عشرية، مثلًا 0.583333.

نتيجة 1 (كسر 1/1) تعني أن الهدف يتحقق في جميع النتائج الممكنة. نتيجة 0 تعني أن الهدف مستحيل مع التكوين المُحدَّد.

القيود

• الحد الأقصى للنردات: 10 نردات؛ ما فوق ذلك يتسع فضاء الحالات لدرجة تجعل الحساب غير عملي.
• الوجوه غير المعيارية: تفترض الأداة نردات بوجوه أعداد صحيحة متتالية من 1 إلى $S$. نردات ذات قيم غير عيارية تستلزم توزيعًا احتماليًا مخصصًا.
• ميكانيكيات الأفضلية والأسوأية: رمي عدة نردات واختيار الأعلى (أو الأدنى) حسابٌ مختلف لا تغطيه هذه الأداة.
• النردات المتفجرة وإعادة الرمي: تتغير الاحتمالات حين تستطيع النردات تفعيل رميات إضافية؛ هذه الميكانيكيات أيضًا خارج النطاق.