حاسبة مساحة القطع الناقص ومحيطه

آخر تحديث: 2026-05-18

ما هو القطع الناقص؟

القطع الناقص منحنى مغلق يُعرَّف بنقطتين ثابتتين تُسمَّيان البؤرتين: مجموع بُعد أي نقطة على المنحنى من البؤرتين ثابت دائماً. حين تتطابق البؤرتان، يصبح القطع الناقص دائرةً — لذا فالدائرة حالةٌ خاصة من القطع الناقص.

لكل قطع ناقص محوران للتناظر:

• المحور الرئيسي: أطول قطر يمر بالبؤرتين. نصفه هو نصف المحور الرئيسي a.
• المحور الثانوي: أقصر قطر عمودي على المحور الرئيسي. نصفه هو نصف المحور الثانوي b.

بالاصطلاح: a ≥ b > 0.

صيغة المساحة

مساحة القطع الناقص:

A = π × a × b

أثبت أرخميدس هذه الصيغة الدقيقة في مؤلَّفه قياس الدائرة باستخدام طريقة الاستنفاد — سلفًا مبكراً للتفاضل والتكامل. للدائرة (a = b = r) تصبح مساحة الدائرة πr².

مثال: قطع ناقص بـ a = 6 سم و b = 4 سم:

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 سم²

المحيط (قيمة تقريبية)

بخلاف المساحة، لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لمحيط القطع الناقص. القيمة الدقيقة تستلزم تكاملاً إهليلجياً لا يمكن التعبير عنه بالدوال الأولية.

تستخدم هذه الحاسبة تقريب رامانوجان الأول (1914) البالغ الدقة:

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

للدائرة (a = b = r):

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (دقيق تماماً)

خطأ الصيغة أقل من 0.0001% لجميع القطوع الناقصة.

مثال محلول

قطع ناقص بـ a = 6 سم و b = 4 سم:

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19.90...]
≈ π × 10.10
≈ 31.73 سم

المركزية (الانحراف المركزي)

تقيس المركزية e مدى ابتعاد القطع الناقص عن كونه دائرةً:

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

الشكل	المركزية
دائرة	e = 0
بيضوي بسيط	e ≈ 0.1–0.3
ممدود متوسط	e ≈ 0.5–0.7
ممدود جداً	e → 1

مركزية القطع الناقص دائماً بين 0 (شاملة) و 1 (غير شاملة).

أمثلة واقعية

المدارات الكوكبية قطوع ناقصة تقع الشمس في بؤرة منها (القانون الأول لكبلر):

الجسم	نصف المحور الرئيسي	المركزية
مدار الأرض	149.6 مليون كم	≈ 0.017
مدار المريخ	227.9 مليون كم	≈ 0.093
مذنب هالي	2667.9 مليون كم	≈ 0.967

مدار الأرض شبه دائري (e ≈ 0.017)، ولذلك تنشأ الفصول الأربعة من ميل محور الأرض لا من تغيُّر بُعدها عن الشمس.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة مساحة القطع الناقص؟

مساحة القطع الناقص هي A = π × a × b، حيث a نصف المحور الرئيسي و b نصف المحور الثانوي. أثبت أرخميدس هذه الصيغة الدقيقة أول مرة. مثلاً، قطع ناقص بـ a = 6 سم و b = 4 سم: A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75.40 سم². عندما a = b = r تصبح مساحة الدائرة πr².

هل توجد صيغة دقيقة لمحيط القطع الناقص؟

لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لمحيط القطع الناقص؛ إذ تتطلب القيمة الدقيقة تكاملاً إهليلجياً. تُستخدم عملياً تقريب رامانوجان الأول: P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. للدائرة (a = b) تعطي 2πr بالضبط، والخطأ أقل من 0.0001% لجميع القطوع الناقصة.

ماذا تعني المركزية (الانحراف المركزي) للقطع الناقص؟

المركزية e = √(1 − (b/a)²) تقيس مدى استطالة القطع الناقص. e = 0 تعني دائرة كاملة؛ كلما اقتربت e من 1 ازداد القطع الناقص استطالة. مدار الأرض حول الشمس e ≈ 0.017 (شبه دائري)، وذنب هالي e ≈ 0.967 (مستطيل جداً).

ما الفرق بين القطع الناقص والبيضوي؟

القطع الناقص شكل هندسي دقيق: مجموع المسافتين من أي نقطة على المنحنى إلى البؤرتين ثابت. أما «البيضوي» (أوفال) فهو مصطلح غير رسمي يصف أي منحنى مغلق وأملس ومستدير. البيض بيضوي الشكل لكنه ليس قطعاً ناقصاً لعدم تناظره. كل قطع ناقص بيضوي الشكل، لكن ليس كل بيضوي قطعاً ناقصاً.