حاسبة المثلث متساوي الأضلاع

آخر تحديث: 2026-05-18

تعريف المثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى أضلاعه الثلاثة وتبلغ كل زاوية من زواياه الداخلية 60° بالضبط. يتميز بتناظر مثالي يجعله أبسط المضلعات غير التافهة: تكفي معرفة الضلع الواحد لاستنتاج جميع قياساته الأخرى.

الارتفاع

أنزل عمودًا من أي رأس إلى الضلع المقابل؛ بحكم التناظر يُنصّف هذا العمودُ الضلعَ المقابل، فينشأ مثلثان متطابقان من نوع 30-60-90 بوتر $a$ وضلع قصير $\frac{a}{2}$. وبتطبيق نظرية فيثاغورس:

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

عند $a = 6$: $h = 3\sqrt{3} \approx 5.196$

المساحة

من قاعدة القاعدة × الارتفاع ÷ 2:

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

عند $a = 6$: $S = 9\sqrt{3} \approx 15.588$

نصف قطر الدائرة المحيطة ونصف قطر الدائرة الداخلية

نصف قطر الدائرة المحيطة $R$ (الدائرة المارة بالرؤوس الثلاثة):

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

نصف قطر الدائرة الداخلية $r$ (الدائرة المماسة للأضلاع الثلاثة من الداخل):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

تنعقد العلاقة $R = 2r$. في المثلث متساوي الأضلاع يتطابق مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الداخلية والنقطة الثقالية والمركز العمودي في نقطة واحدة هي مركز التناظر.

الضلع $a$	الارتفاع $h$	المساحة $S$	$R$	$r$
1	0.866	0.433	0.577	0.289
6	5.196	15.588	3.464	1.732
10	8.660	43.301	5.774	2.887

الصلة بمثلث 30-60-90

يمكن تقسيم أي مثلث متساوي الأضلاع بواسطة أوساطه الثلاثة إلى ستة مثلثات متطابقة من نوع 30-60-90. نسبة الأضلاع $1 : \sqrt{3} : 2$ هي التي تُفسر ظهور $\sqrt{3}$ في جميع صيغ المثلث متساوي الأضلاع.

إثبات R = 2r

تتطابق النقطة الثقالية مع مركزَي الدائرتين المحيطة والداخلية. طول كل وسيط هو $h = a\sqrt{3}/2$، وتقسّم النقطة الثقالية كل وسيط بنسبة $2:1$ من الرأس:

• المسافة من النقطة الثقالية إلى الرأس: $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• المسافة من النقطة الثقالية إلى منتصف الضلع: $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• إذن $R = 2r$ ✓

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع؟

مساحة المثلث متساوي الأضلاع بضلع a هي S = (√3 ÷ 4) × a². مثال: عند a = 6، تكون S = (√3 ÷ 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.588. تنبثق هذه الصيغة من تطبيق القاعدة × الارتفاع ÷ 2 مع الارتفاع h = a√3 ÷ 2.

كيف يُحسب ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع؟

أنزل عمودًا من أي رأس إلى الضلع المقابل؛ ينصف هذا العمود ذلك الضلع مكوّنًا مثلثين متطابقين من نوع 30-60-90 بوتر a وضلع قصير a/2. وفق نظرية فيثاغورس: h² = a² − (a/2)² = 3a²/4، إذن h = a√3 ÷ 2. عند a = 6: h = 3√3 ≈ 5.196.

ما هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الأضلاع؟

نصف قطر الدائرة المحيطة R (نصف قطر الدائرة المارة بالرؤوس الثلاثة) يساوي R = a√3 ÷ 3 = a ÷ √3. عند a = 6: R = 6 ÷ √3 = 2√3 ≈ 3.464. يستنتج ذلك من قانون الجيب الموسّع: R = a ÷ (2 sin 60°) = a ÷ √3.

لماذا يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة ضعف نصف قطر الدائرة الداخلية في المثلث متساوي الأضلاع؟

في المثلث متساوي الأضلاع: R = a√3 ÷ 3 و r = a√3 ÷ 6، ومن ثمّ R = 2r بدقة. هندسيًا، يتطابق مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الداخلية والنقطة الثقالية في نقطة واحدة. تقسّم هذه النقطة كل وسيط بنسبة 2:1 من الرأس، فتبعد عن الرأس مسافة R وعن منتصف الضلع مسافة r.