حاسبة أعداد فيبوناتشي

آخر تحديث: 2026-05-19

ما الذي تحسبه هذه الأداة

متتالية فيبوناتشي هي متتالية عددية يساوي كل حد فيها مجموع الحدين السابقين، وتبدأ بـ 0 و1. تحسب هذه الأداة الحد الـ n من المتتالية لأي مؤشر بين 0 و70، وتعرض F(n) وF(n−1) والنسبة F(n)/F(n−1) المتقاربة نحو النسبة الذهبية، فضلاً عن المتتالية الكاملة من F(0) إلى F(n).

ما هي متتالية فيبوناتشي؟

متتالية فيبوناتشي تبدأ بالعددين 0 و1، ثم يساوي كل حد بعدهما مجموع الحدين السابقين:

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، …

التعريف الرسمي: F(0) = 0، وF(1) = 1، وعند n ≥ 2: F(n) = F(n−1) + F(n−2).

تحمل المتتالية اسم الرياضي الإيطالي ليوناردو بيزا (نحو 1170–1250)، المعروف بـ"فيبوناتشي"، الذي استخدمها عام 1202 في مؤلَّفه كتاب الحساب لنمذجة تكاثر الأرانب. غير أن الرياضيين الهنود كانوا قد وصفوا هذا النمط قروناً قبله في سياق دراسة علم العروض السنسكريتي.

كيف تحسب الحاسبة F(n)؟

تعتمد الحاسبة على حلقة تكرارية بدلاً من التعريف التعاودي. بدءاً من F(0) = 0 وF(1) = 1، تجمع كل خطوة الحدين السابقين؛ وبعد n − 1 عملية جمع فقط تُحصَل على F(n). التعقيد الزمني O(n)، ويُتجنَّب بذلك التضخم الأسي الناجم عن التعاودية الساذجة.

أقصى مؤشر مدعوم هو n = 70، إذ إن F(70) = 190,392,490,709,135 هو أكبر عدد فيبوناتشي يمكن تمثيله بدقة تامة في نظام الفاصلة العائمة المزدوج 64 بت وفق معيار IEEE 754. ابتداءً من F(71)، تتجاوز القيم حد الأعداد الصحيحة الآمنة 2⁵³، فتُفضي عمليات التقريب إلى نتائج غير دقيقة.

مثال محسوب

المدخل: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

النتيجة: F(12) = 144، وF(11) = 89، والنسبة = 144/89 ≈ 1.61797753.

والجدير بالذكر أن 144 = 12² مربع تام. ويُثبت مبرهنة يونغرن أن الأعداد 0 و1 و144 هي الأعداد الفيبوناتشية الوحيدة التي هي في الوقت ذاته مربعات تامة.

العلاقة بين المتتالية والنسبة الذهبية

مع تزايد n، تتقارب النسبة F(n) / F(n−1) نحو النسبة الذهبية:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1.6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1.66667
10	55	1.61765
20	6,765	1.61803
30	832,040	1.61803399

عند n = 20 تتطابق النسبة مع φ حتى الخانة العشرية السادسة. تظهر النسبة الذهبية في هندسة المخمس المنتظم (نسبة قطره إلى ضلعه)، وفي العمارة الكلاسيكية والفن، وفي التوزع الحلزوني لبذور عباد الشمس والصنوبر.

صيغة بينيه

تتيح صيغة بينيه حساب F(n) مباشرةً دون تكرار:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

حيث $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.61803$ هي النسبة الذهبية، و$\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0.61803$ مرافقتها.

ولأن |ψ| < 1 فإن الحد ψⁿ يتجه نحو الصفر مع تزايد n؛ لذا فإن F(n) عند n ≥ 1 هو ببساطة أقرب عدد صحيح إلى $\varphi^n / \sqrt{5}$. بالرغم من أناقة الصيغة، فإنها تعتمد على الحساب بالفاصلة العائمة وتُفقد الدقة للقيم الكبيرة؛ ولهذا تختار هذه الحاسبة الطريقة التكرارية.

متتالية فيبوناتشي في الطبيعة والعلوم

تظهر هذه المتتالية في مجالات متعددة:

• علم النبات: تحمل كثير من الأزهار عدداً من البتلات موافقاً لحد فيبوناتشي — 3 أو 5 أو 8 أو 13 في الغالب. وتُظهر رؤوس بذور عباد الشمس عادةً 34 و55 لولبة في اتجاهين متعاكسين.
• الفيلوتاكسيس: تنمو الأوراق والأغصان كثيراً وفق زوايا مرتبطة بـ φ، بما يُعظّم مساحة الورقة المعرضة للضوء.
• علوم الحاسب: تستمد هياكل بيانات كومة فيبوناتشي المستخدمة في خوارزميات الرسوم البيانية اسمها من هذه المتتالية. كما يُعدّ الحساب التعاودي الساذج لـ F(n) المثال الكلاسيكي على التعقيد الأسي في تعليم الخوارزميات.
• التحليل الفني: تُشتق مستويات تصحيح فيبوناتشي (23.6%، و38.2%، و61.8%) من النسب بين الحدود المتتالية، وتُستخدم على نطاق واسع في أسواق الأسهم والعملات الأجنبية، وإن كانت قيمتها التنبؤية موضع جدل.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي متتالية فيبوناتشي؟

متتالية فيبوناتشي هي سلسلة من الأعداد يساوي كل حد فيها مجموع الحدين السابقين: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، … وتعريفها الرسمي: F(0) = 0 و F(1) = 1، وللحد العام عند n ≥ 2: F(n) = F(n−1) + F(n−2).

سُمِّيت نسبةً إلى الرياضي الإيطالي ليوناردو بيزا (فيبوناتشي، نحو 1170–1250)، الذي استخدمها عام 1202 في كتابه "كتاب الحساب" لنمذجة تكاثر الأرانب. غير أن الرياضيين الهنود كانوا قد وصفوا هذه المتتالية قروناً قبله في سياق دراسة الإيقاع الشعري السنسكريتي.

ما العلاقة بين متتالية فيبوناتشي والنسبة الذهبية؟

مع تزايد n، يتقارب نسبة الحدين المتتاليين F(n) / F(n−1) نحو النسبة الذهبية φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887. عند n = 10 تبلغ النسبة 1.61765، وعند n = 20 تتطابق مع φ حتى الخانة العشرية السادسة.

تظهر هذه العلاقة في الهندسة (نسبة القطر إلى الضلع في المخمس المنتظم)، وفي الفن والعمارة، وفي الطبيعة كترتيب بذور عباد الشمس على شكل لولبيات.

ما صيغة بينيه في متتالية فيبوناتشي؟

تتيح صيغة بينيه حساب F(n) مباشرةً دون تكرار: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5، حيث φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.61803 هي النسبة الذهبية وψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.61803 مرافقتها.

ولأن |ψ| < 1 فإن الحد ψⁿ يتجه نحو الصفر، وبالتالي فإن F(n) هو أقرب عدد صحيح إلى φⁿ / √5. رغم أناقة الصيغة، فإنها تعتمد على الحساب بالفاصلة العائمة وتفقد دقتها مع الأعداد الكبيرة؛ لذا تستخدم هذه الحاسبة الطريقة التكرارية.

حتى أي قيمة من n تعمل هذه الحاسبة؟

تدعم الحاسبة قيم n من 0 إلى 70. إذ إن F(70) = 190,392,490,709,135 هو أكبر عدد فيبوناتشي يمكن تمثيله بدقة تامة في نظام الفاصلة العائمة المزدوج 64 بت وفق معيار IEEE 754. ابتداءً من F(71)، تتجاوز القيم حد الأعداد الصحيحة الآمنة 2⁵³ = 9,007,199,254,740,992، مما قد يؤدي إلى أخطاء تقريب في النتائج.