حاسبة قانون الجيب — حل المثلث AAS

آخر تحديث: 2026-05-19

ما تحسبه هذه الآلة الحاسبة

يربط قانون الجيب كل ضلع من أضلاع المثلث بجيب الزاوية المقابلة له. أدخل زاويتين والضلع المقابل لإحداهما (تكوين AAS)، وستحسب هذه الآلة الحاسبة الزاوية الثالثة والضلعين المجهولين والمساحة ونصف قطر الدائرة المحيطة.

قانون الجيب

لأي مثلث بأضلاع $a$ و$b$ و$c$ وزوايا مقابلة $A$ و$B$ و$C$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

تساوي النسبة المشتركة قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

حل مثلث AAS خطوة بخطوة

المعطيات: الزاوية $A$، الضلع $a$ (المقابل لـ $A$)، الزاوية $B$

الخطوة الأولى: إيجاد الزاوية الثالثة

$C = 180° - A - B$

الخطوة الثانية: إيجاد الأضلاع المجهولة

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

الخطوة الثالثة: إيجاد المساحة

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

الخطوة الرابعة: إيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

مثال محلول

المعطيات: $A = 30°$، $a = 10$، $B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14{.}142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19{.}319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14{.}142 \times \sin 105° \approx 68{.}30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

التحقق: $b / \sin B = 14{.}142 / \sin 45° = 20 = 2R$، وهذا يؤكد صحة قانون الجيب.

لماذا تنجح الصيغة: الاشتقاق من الدائرة المحيطة

نرسم الدائرة المحيطة (نصف قطرها $R$) ونمد قطراً من الرأس $A$ حتى نقطة $D$ على الدائرة. بموجب مبرهنة طاليس يكون $\angle ABD = 90°$، فيصبح $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$. وبمبرهنة زاوية المحيط يكون $\angle ADB = A$، ومن ثَمَّ:

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

قانون الجيب أم قانون جيب التمام؟

المعطيات المعروفة	الصيغة المناسبة
زاويتان + أي ضلع (AAS أو ASA)	قانون الجيب
ضلعان + الزاوية المحصورة (SAS)	قانون جيب التمام
الأضلاع الثلاثة (SSS)	قانون جيب التمام
ضلعان + زاوية غير محصورة (SSA)	قانون الجيب (الحالة الغامضة واردة)

الحالة الغامضة

تظهر الحالة الغامضة فقط في تكوين SSA. تستخدم هذه الحاسبة تكوين AAS حيث تُحدَّد الزاوية الثالثة بصورة وحيدة من $C = 180° − A − B$، فلا تنشأ الحالة الغامضة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

متى أستخدم قانون الجيب ومتى أستخدم قانون جيب التمام؟

يُستخدم قانون الجيب عندما تعرف زاوية والضلع المقابل لها (تكوينات AAS أو ASA). ويُستخدم قانون جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS) أو الأضلاع الثلاثة (SSS). القاعدة المختصرة: إذا كانت الزاوية المعروفة مقابلة مباشرة لضلع معروف، فاستخدم قانون الجيب.

ما هي الحالة الغامضة في قانون الجيب؟

تظهر الحالة الغامضة في تكوين SSA (ضلعان وزاوية غير محصورة). إذا كان a < h = b sin A، فلا يوجد مثلث. أما إذا كان h < a < b، فيوجد مثلثان مختلفان. تستخدم هذه الحاسبة تكوين AAS، حيث تُحدَّد الزاوية الثالثة بصورة وحيدة من العلاقة C = 180° − A − B، مما يُلغي الحالة الغامضة.

ما العلاقة بين قانون الجيب ونصف قطر الدائرة المحيطة؟

ينص قانون الجيب الموسّع على أن a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R، حيث تساوي النسبة المشتركة قطر الدائرة المحيطة. ومن ثَمَّ يمكن حساب R = a / (2 sin A) مباشرة. وفي المثلث القائم (C = 90°) يكون R = c/2: أي أن نصف القطر يساوي نصف الوتر.

ما الفرق بين AAS وASA؟

في ASA (زاوية-ضلع-زاوية) يقع الضلع المعروف بين الزاويتين المعروفتين. وفي AAS (زاوية-زاوية-ضلع) يكون الضلع المعروف مقابلاً لإحدى الزاويتين. كلا التكوينين يُحدِّدان المثلث بصورة وحيدة ويُحلَّلان بالطريقة ذاتها: احسب C = 180° − A − B، ثم طبّق قانون الجيب.