حاسبة اللوغاريتم

آخر تحديث: 2026-05-18

ما هو اللوغاريتم؟

اللوغاريتم $\log_b(x)$ هو الدالة العكسية للأس: إذا كان $b^y = x$، فإن $\log_b(x) = y$. بعبارة أخرى، يُجيب اللوغاريتم على السؤال: إلى أيّ أس يُرفع الأساس $b$ للحصول على العدد $x$؟ تحسب هذه الأداة الأشكال الأربعة الأكثر شيوعًا في آنٍ واحد — لوغاريتم أساس اختياري، والأساس 10، واللوغاريتم الطبيعي، والأساس 2.

المفهوم والأسس الشائعة

$\log_b(x)$ يحدد الأساسُ فيه «المقياسَ» المستخدم في القياس. على سبيل المثال، بما أن $10^3 = 1000$، فإن $\log_{10}(1000) = 3$. الأسس الثلاثة الأكثر استخدامًا:

• الأساس 10 — اللوغاريتم العشري. كل وحدة على المقياس اللوغاريتمي تقابل عامل 10 في القيمة الأصلية. يُستخدم في الديسيبل (مستوى الصوت) والرقم الهيدروجيني pH (الحموضة) ومقياس ريختر (الزلازل).
• الأساس e ≈ 2.71828 — اللوغاريتم الطبيعي (ln). يظهر بصورة طبيعية في النمو الأسي، والتحلل الإشعاعي، وكثير من المعادلات الهندسية. مشتقة $\ln(x)$ هي ببساطة $1/x$.
• الأساس 2 — اللوغاريتم الثنائي. كل وحدة تعني مضاعفة. يُستخدم في نظرية المعلومات (البتات)، وعلوم الحاسوب (البحث الثنائي، وعمق الأشجار)، والموسيقى (الأوكتاف).

الصيغ الرياضية

لعدد موجب $x$ وأساس موجب $b \neq 1$:

الأساس التعسفي (صيغة تغيير الأساس):

$$\log_b(x) = \frac{\ln x}{\ln b}$$

اللوغاريتم العشري (الأساس 10):

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$$

اللوغاريتم الطبيعي (الأساس e):

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

اللوغاريتم الثنائي (الأساس 2):

$$\log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

اللوغاريتم العكسي — التحقق:

$$b^{\log_b(x)} = x$$

صيغة تغيير الأساس

تتوفر في الآلات الحاسبة العلمية عادةً زرّان فقط للوغاريتم: log (الأساس 10) وln (الأساس e). لحساب $\log_b(x)$ بأيّ أساس آخر، تُطبَّق الصيغة:

$$\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

تُعطي الصورتان نتيجةً واحدة؛ يمكن استخدام أيّهما حسب الأداة المتاحة.

مثال محلول: صيغة تغيير الأساس

حساب $\log_5(125)$:

$$\log_5(125) = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4.828}{1.609} = 3$$

التحقق: $5^3 = 125$ ✓

مثال محلول: فرق مستوى الصوت

مكبّران للصوت لهما شدتا صوت $I_1 = 0.001\ \text{W/m}^2$ و$I_2 = 0.000001\ \text{W/m}^2$.

فرق مستوى الصوت بالديسيبل هو:

$$\Delta dB = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$$

المكبّر الأول أعلى بمقدار 30 ديسيبل، أي أنه يوفر 1000 ضعف الطاقة الصوتية.

غموض رمز log وln

رمز «log» مبهم: في الرياضيات يعني غالبًا $\ln$ (اللوغاريتم الطبيعي)، بينما في العلوم والهندسة يعني عادةً $\log_{10}$ (اللوغاريتم العشري). تتفاوت لغات البرمجة أيضًا: في Python، math.log(x) يعطي $\ln$، وmath.log10(x) يعطي $\log_{10}$. تعرض هذه الأداة الأشكال الأربعة صراحةً لتفادي أي لبس.

التطبيقات في الحياة العملية

المجال	ما يقيسه اللوغاريتم
الصوت (ديسيبل)	$dB = 10 \log_{10}(P / P_0)$ — كل 10 ديسيبل تعادل 10 أضعاف الطاقة
الكيمياء (pH)	$pH = -\log_{10}[\text{H}^+]$ — الرقم الهيدروجيني 4 أكثر حمضيةً 10 مرات من 5
الزلازل (ريختر)	كل وحدة تساوي 10 أضعاف اتساع الموجة الأرضية
التمويل	معدل النمو المستمر: $r = \ln(V_f / V_i) / t$
علوم الحاسوب	$\log_2(n)$ خطوة للبحث الثنائي في $n$ عنصرًا
الموسيقى	كل أوكتاف يضاعف التردد؛ و$\log_2$ يحسب عدد الأوكتافات

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أحسب اللوغاريتم؟

اللوغاريتم log_b(x) يجيب على السؤال: «إلى أي أس يُرفع b للحصول على x؟». مثلاً، log₁₀(1000) = 3 لأن 10³ = 1000. لحساب لوغاريتم بأي أساس، يُستخدم قانون تحويل الأساس: log_b(x) = ln(x) / ln(b). بمفتاح «log» (اللوغاريتم العشري) ومفتاح «ln» (اللوغاريتم الطبيعي) في الآلة الحاسبة العلمية، يمكن إيجاد لوغاريتم أي أساس.

ما الفرق بين log و ln؟

في العلوم والهندسة، تشير «log» بدون تحديد أساس عادةً إلى اللوغاريتم العشري (الأساس 10). أما «ln» فهو اللوغاريتم الطبيعي الذي أساسه e ≈ 2.71828.

كلاهما لوغاريتم، والفرق الوحيد هو الأساس. في المؤلفات الرياضية قد تعني «log» اللوغاريتم الطبيعي، لذا يُنصح بمراجعة السياق دائماً. تعرض هذه الحاسبة القيم الأربعة صراحةً لتفادي أي لبس.

ما هو قانون تحويل الأساس؟

يُتيح قانون تحويل الأساس حساب لوغاريتم بأي أساس باستخدام آلة حاسبة عادية: log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b). تُعطي الصور الثلاث نتيجة واحدة. مثلاً، log₅(125) = ln(125) / ln(5) ≈ 4.828 / 1.609 = 3، لأن 5³ = 125. تطبّق هذه الحاسبة هذا القانون داخلياً لمعالجة أي أساس يُدخله المستخدم.

كيف أجد لوغاريتم الأساس 2؟

log₂(x) يخبرك كم مرة يُضرب العدد 2 في نفسه للحصول على x. قيم شائعة: log₂(2) = 1، log₂(4) = 2، log₂(8) = 3، log₂(1024) = 10. في علوم الحاسوب يمثّل log₂ عدد البتات اللازمة؛ فعنونة 1024 موضعاً تستلزم 10 بتات بالضبط. يُحسب بقانون تحويل الأساس: log₂(x) = ln(x) / ln(2) ≈ ln(x) / 0.6931.