مدقق الأعداد الأولية

آخر تحديث: 2026-05-18

تعريف العدد الأولي

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة الصحيحة إلا على 1 وعلى نفسه، أي أنه لا يوجد عدد صحيح آخر يقسمه تماماً.

• 2 عدد أولي: يقبل القسمة فقط على 1 و2
• 7 عدد أولي: يقبل القسمة فقط على 1 و7
• 12 عدد مركّب: يقبل القسمة على 1 و2 و3 و4 و6 و12

أول عشرين عدداً أولياً هي:

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71$

تقلّ كثافة الأعداد الأولية كلما كبرت الأعداد، لكنها لا تنقطع أبداً. أثبت إقليدس نحو عام 300 ق.م. أن الأعداد الأولية لا نهاية لها.

استثناء الرقم 1 من تعريف الأعداد الأولية

يشترط التعريف الحديث للعدد الأولي وجود قاسمَين موجبَين مختلفَين بالضبط، وهو ما لا ينطبق على 1 الذي له قاسم موجب واحد فقط (نفسه).

السبب الجوهري هو الحفاظ على المبرهنة الأساسية في الحساب: لكل عدد صحيح أكبر من 1 تمثيل وحيد بوصفه حاصل ضرب أعداد أولية. لو كان 1 أولياً لفقدنا هذه الوحدانية:

$12 = 2^2 \times 3 = 1 \times 2^2 \times 3 = 1^2 \times 2^2 \times 3 = \ldots$

لهذا يُصنَّف 1 ضمن الوحدات — لا أولياً ولا مركّباً.

كيف تعمل الآلة: قسمة التجربة

للأعداد من 1 إلى 1000، تستخدم هذه الآلة قسمة التجربة: تحقق قابلية القسمة على كل عدد أولي حتى $\sqrt{1000} \approx 31.6$. إن لم يكن لـ$n$ أي عامل أولي أصغر من أو يساوي جذره التربيعي، فهو عدد أولي.

الأعداد الأولية حتى 31 هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31. يكفي اختبار هذه الأحد عشرة قيمة لتحديد أولية أي عدد حتى 1000.

مثال — هل 97 عدد أولي؟

القاسم	$97 \div d$	الباقي
2	48.5	1
3	32.3…	1
5	19.4	2
7	13.857…	6

لا يقسم أي عدد أولي حتى $\sqrt{97} \approx 9.8$ العددَ 97 تماماً — إذن 97 عدد أولي.

مثال — هل 91 عدد أولي؟

$91 \div 7 = 13$ مع باقٍ يساوي صفراً. بما أن 7 يقسم 91، فـ 91 عدد مركّب ($91 = 7 \times 13$)، وأصغر عامل أولي له هو 7.

منخل إراتوستينس

للعثور على جميع الأعداد الأولية حتى حدٍّ معيّن، يكون منخل إراتوستينس أكثر كفاءة:

1. اكتب جميع الأعداد الصحيحة من 2 إلى $N$.
2. ابدأ بـ 2: اشطب مضاعفاته (4، 6، 8، …).
3. انتقل إلى أول عدد غير مشطوب (3) واشطب مضاعفاته.
4. كرّر حتى $\sqrt{N}$.

ما تبقّى من أعداد غير مشطوبة هو الأعداد الأولية. تعقيد الخوارزمية $O(N \log \log N)$.

الأعداد الأولية والتشفير

يعتمد معظم تشفير المفتاح العام على عدم تماثل جوهري: ضرب عددين أوليَّين كبيرَين أمر سهل، بينما تحليل حاصل ضربهما إلى عواملهما الأصلية أمر مستحيل عملياً حسابياً.

تشفير RSA (المستخدم في HTTPS والتوقيعات الرقمية):

1. يُختار عددان أوليان كبيران $p$ و$q$ (عادةً 1024–4096 بت).
2. يُحسب $n = p \times q$ ويُنشر كجزء من المفتاح العام.
3. على المهاجم تحليل $n$ لكسر التشفير — وهو ما يستغرق وقتاً أطول من عمر الكون بأجهزة الحاسوب الراهنة.

هذه الدالة أحادية الاتجاه هي أساس الاتصال الآمن على الإنترنت.

مرجع سريع

العدد	أولي؟	أصغر عامل أولي
1	لا (وحدة)	—
2	نعم	2 (نفسه)
4	لا	2
17	نعم	17 (نفسه)
49	لا	7
97	نعم	97 (نفسه)
100	لا	2
997	نعم	997 (نفسه)

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو العدد الأولي؟

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. فعلى سبيل المثال، 2 و3 و5 و7 و11 و13 أعداد أولية، أما 12 فليس أولياً لأنه يقبل القسمة على 2 و3 و4 و6. كل عدد صحيح أكبر من 1 إما أولي أو يمكن تمثيله بصورة وحيدة كحاصل ضرب أعداد أولية — وهذا هو مبرهنة أساسية في الحساب.

لماذا لا يُعدّ الرقم 1 عدداً أولياً؟

يشترط تعريف العدد الأولي وجود اثنين بالضبط من القسامين الموجبين المختلفين: 1 والعدد نفسه. أما 1 فله قاسم موجب واحد فقط (هو نفسه). لو اعتبرنا 1 عدداً أولياً لفقدنا وحدانية تحليل العوامل الأولية: 12 = 2² × 3 = 1 × 2² × 3 = 1² × 2² × 3 ... مما يعطي تحليلات لا حصر لها.

ما هي العشرة الأعداد الأولية الأولى؟

الأعداد الأولية العشرة الأولى هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29. والعدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؛ إذ إن كل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على 2. وقد برهن إقليدس نحو عام 300 ق.م. على أن الأعداد الأولية لا نهاية لها.

لماذا تُعدّ الأعداد الأولية حيوية في علم التشفير؟

يعتمد معظم تشفير المفتاح العام — بما فيه RSA المستخدم في HTTPS والتوقيعات الرقمية — على حقيقة أن ضرب عددين أوليين كبيرين أمر سهل، بينما تحليل حاصل ضربهما إلى عواملهما الأوليين أمر مستحيل عملياً حسابياً. تستخدم مفاتيح RSA الحديثة أعداداً أولية تضم مئات الأرقام.