حاسبة المضلع المنتظم

آخر تحديث: 2026-05-18

الشكل ذو التناسق الكامل

المضلع المنتظم هو شكل هندسي تتساوى فيه جميع الأضلاع وجميع الزوايا الداخلية. المثلث المتساوي الأضلاع والمربع والمخمس المنتظم والمسدس المنتظم أبرز أمثلته. بمعرفة عدد الأضلاع n وطول الضلع a تُحدَّد جميع القياسات الأخرى بصورة كاملة.

تنبثق هذه القياسات من تقسيم المضلع المنتظم إلى n مثلث متطابق تلتقي عند مركزه. كل مثلث قائمة هي نصف ضلع (a/2)، ويُكوِّن مع التوتير r والنصف القطر الخارجي R مثلثاً قائماً، ومنه تُشتق صيغ الزوايا ونصفي القطر مباشرةً.

الصيغ الرياضية

المحيط:

$P = n \cdot a$

الزاوية الداخلية (عند كل رأس):

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

الزاوية الخارجية (مكملة للداخلية، مجموعها 360° دائماً):

$\beta = \frac{360°}{n}$

نصف القطر الداخلي (التوتير) — المسافة العمودية من المركز إلى منتصف أي ضلع:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

نصف القطر الخارجي — المسافة من المركز إلى أي رأس:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

المساحة:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

الزوايا الداخلية للمضلعات الشائعة

الأضلاع	الاسم	الزاوية الداخلية
3	مثلث متساوي الأضلاع	60°
4	مربع	90°
5	مخمس منتظم	108°
6	مسدس منتظم	120°
8	مثمن منتظم	135°
12	اثنا عشري منتظم	150°

مثال محلول

المسألة: بلاطة مسدسية منتظمة طول ضلعها 8 سم. أوجد مساحتها ووترها العمودي ونصف قطرها الخارجي.

بتطبيق n = 6 وa = 8 سم:

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6.928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166.3 \text{ cm}^2$

للمسدس المنتظم خاصية مميزة: نصف القطر الخارجي يساوي طول الضلع ($R = a$). هذا ما يجعل الخلايا السداسية في قرص العسل نموذجاً للكفاءة الهندسية في الطبيعة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة حساب مساحة المضلع المنتظم؟

مساحة مضلع منتظم من n ضلعاً بطول ضلع a تُحسب بالصيغة: A = (n·a²) / (4·tan(π/n)). فللسداسي المنتظم (n=6) بطول ضلع 10 سم: A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0.5774) ≈ 259.8 سم². وتُستخدم أيضاً صيغة مكافئة تعتمد على التوتير (نصف قطر الدائرة المحاطة): A = ½ × المحيط × التوتير = ½ × n·a · r.

كيف يُحسب قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم؟

الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم ذي n ضلعاً هي: α = (n − 2) × 180° / n. المثلث المتساوي الأضلاع (n=3) = 60°، والمربع (n=4) = 90°، والمضلع الخماسي المنتظم (n=5) = 108°، والسداسي المنتظم (n=6) = 120°. الزاوية الخارجية — مكمّل الزاوية الداخلية — تساوي دائماً 360°/n. ومجموع الزوايا الداخلية يساوي (n−2) × 180°.

ما المقصود بالتوتير في المضلع المنتظم؟

التوتير (أو نصف القطر الداخلي) هو المسافة العمودية من مركز المضلع إلى منتصف أي ضلع من أضلاعه. للمضلع المنتظم ذي n ضلعاً بطول ضلع a، يُحسب التوتير بالصيغة: r = a / (2·tan(π/n)). ويفيد في حساب المساحة: A = ½ × المحيط × التوتير، كما أنه يمثّل نصف قطر أكبر دائرة محاطة.

أما نصف القطر الخارجي فيساوي R = a / (2·sin(π/n))، وهو المسافة من المركز إلى أي رأس من رؤوس المضلع.