حاسبة حجم الكرة والمساحة السطحية

آخر تحديث: 2026-05-18

تعريف حجم الكرة

الكرة جسم هندسي ثلاثي الأبعاد تتساوى جميع نقاطه في البُعد عن مركزه؛ وهذا البُعد هو نصف القطر r. يُعرَّف حجم الكرة بأنه الفراغ الثلاثي الأبعاد المحاط بسطحها. تُدخَل قيمة نصف القطر للحصول على الحجم والمساحة السطحية والقطر، وتنطبق الصيغ على أي كرة مثالية: الكرات الرياضية، والكرات الأرضية، وخزانات المياه، أو الكواكب.

الصيغ الرياضية

لكرة ذات نصف قطر r:

الخاصية	الصيغة
الحجم	V = (4/3)πr³
المساحة السطحية	A = 4πr²
القطر	d = 2r

اشتقاق العامل (4/3)π

أثبت أرخميدس حوالي عام 250 ق.م. أن الكرة تشغل ضبطاً ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة بها (نصف القطر r، الارتفاع 2r). وبما أن حجم الأسطوانة هو 2πr³، فحجم الكرة يساوي (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

يمكن التوصل إلى النتيجة ذاتها بالتفاضل والتكامل؛ إذ يُشرَّح الكرة إلى شرائح دائرية:

V = ∫₋ᵣʳ π(r² − x²) dx = (4/3)πr³

اشتقاق المساحة السطحية 4πr²

اشتقاق أنيق: المساحة السطحية هي مشتقة الحجم بالنسبة إلى r. عند إزالة قشرة رفيعة بشكل لا نهائي، نحصل على dV/dr = 4πr².

وأثبت أرخميدس أيضاً أن مساحة سطح الكرة تساوي المساحة الجانبية للأسطوانة المحيطة بها، ونقش هذه النتيجة على شاهدة قبره.

التوسع التكعيبي: مضاعفة نصف القطر

بما أن الحجم يتناسب مع r³، فإن مضاعفة نصف القطر يضاعف الحجم بمقدار 8 مرات. هذا التأثير مفاجئ في أغلب الأحيان:

مضاعف نصف القطر	مضاعف الحجم	مضاعف المساحة
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

كرة السلة (r ≈ 12 سم) تحتوي على نحو 8 أضعاف كمية الهواء في كرة التنس (r ≈ 6 سم)، رغم أنها تبدو أكبر منها مرتين فحسب.

أمثلة محلولة

المثال 1 — كرة القدم

لكرة القدم الرسمية محيط يبلغ نحو 68.5 سم، وبالتالي r = 68.5 / (2π) ≈ 10.9 سم.

الحجم: V = (4/3) × π × (0.109)³ ≈ 0.00542 م³ ≈ 5.42 لتر
المساحة السطحية: A = 4 × π × (0.109)² ≈ 0.149 م² ≈ 1490 سم²

المثال 2 — خزان مياه كروي

خزان مياه كروي بنصف قطر 2 م يسع:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33.51 م³ ≈ 33,510 لتر

المساحة السطحية A = 4π × 4 ≈ 50.27 م² تُحدد كمية الصلب التي تحتاج إلى طلاء.

المثال 3 — إيجاد نصف القطر من الحجم

إذا كان حجم الكرة 1 م³ بالضبط، فنصف قطرها هو:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 م (نحو 62 سم)

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة حجم الكرة؟

حجم الكرة يُحسب بالمعادلة V = (4/3)πr³، حيث r هو نصف القطر. مثلاً، كرة نصف قطرها 5 سم يبلغ حجمها V = (4/3) × π × 125 ≈ 523.6 سم³. أثبت أرخميدس هذه الصيغة بمقارنة الكرة بالأسطوانة المحيطة بها.

كيف تحسب المساحة السطحية للكرة؟

المساحة السطحية للكرة هي A = 4πr². لكرة نصف قطرها 5 سم: A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314.2 سم². أثبت أرخميدس أن مساحة سطح الكرة تساوي المساحة الجانبية للأسطوانة المحيطة بها، ونقش هذه النتيجة على شاهدة قبره.

ماذا يحدث للحجم عند مضاعفة نصف القطر؟

بما أن الحجم يتناسب مع r³، فإن مضاعفة نصف القطر تضاعف الحجم بمقدار 2³ = 8 مرات. كرة نصف قطرها 10 سم تحتوي على ثمانية أضعاف حجم كرة نصف قطرها 5 سم. أما تثليث نصف القطر فيجعل الحجم 27 ضعفاً.

كيف تجد نصف القطر من حجم الكرة؟

بعزل r من V = (4/3)πr³ نحصل على r = ∛(3V / (4π)). مثلاً، إذا كان V = 1 م³، فإن r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 م.