احسب مساحة شبه المنحرف بالمعادلة A = (a + b) / 2 × h. أدخل القاعدتين المتوازيتين والارتفاع العمودي للحصول على المساحة.
المدخلات
النتائج
المساحة المستوية المحاطة بأضلاع شبه المنحرف.
a = 8\,\text{سم}b = 5\,\text{سم}h = 4\,\text{سم}
\begin{aligned} A &= \dfrac{a + b}{2} \times h \\ &= \dfrac{8\,\text{سم} + 5\,\text{سم}}{2} \times 4\,\text{سم} \\ &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}
تعريف شبه المنحرف
شبه المنحرف شكل هندسي رباعي الأضلاع يضم ضلعين متوازيين يُسمَّيان القاعدتين، وضلعين غير متوازيين يُسمَّيان الساقين. مساحته تساوي متوسط طولَي القاعدتين مضروبًا في الارتفاع العمودي بينهما. يُستخدم هذا الشكل على نطاق واسع في هندسة المياه والمساحة الأرضية ومسائل الهندسة المستوية.
المعادلة
لشبه منحرف قاعدتاه المتوازيتان a وb وارتفاعه العمودي h:
A = (a + b) / 2 × h
أي أن المساحة تساوي متوسط القاعدتين مضروباً في الارتفاع.
اشتقاق المعادلة
القطعة الواصلة بين منتصفَي الساقين (الوسيط) يوازي القاعدتين وطوله يساوي (a + b) / 2 بالضبط. مستطيل عرضه هذا الطول وارتفاعه h مساحته مساوية تماماً لمساحة شبه المنحرف، لأن المثلث الزائد في أحد الجانبين يملأ الفراغ في الجانب الآخر.
هذه العلاقة هي أيضاً أساس قاعدة شبه المنحرف في التكامل العددي، التي تُستخدم لتقريب المساحة تحت منحنى ما.
أنواع شبه المنحرف
النوع
الخصائص
شبه المنحرف العام
ضلعان متوازيان فقط
شبه المنحرف متساوي الساقين
الساقان متساويتان والشكل متماثل
شبه المنحرف القائم
إحدى الساقين عمودية على القاعدتين
متوازي الأضلاع
كلا الزوجين من الأضلاع متوازيان (حالة خاصة)
معادلة المساحة A = (a + b) / 2 × h صالحة لجميع هذه الأنواع. يُشار إلى أن الإنجليزية الأمريكية تستخدم trapezoid فيما تستخدم الإنجليزية البريطانية trapezium للدلالة على الشكل ذاته.
الارتفاع العمودي
الارتفاع h في المعادلة هو المسافة العمودية بين القاعدتين، أي المسافة المقاسة بزاوية قائمة (90°). وليس طول الساق المائلة.
إذا كان طول الساق s والزاوية θ التي تصنعها مع القاعدة معلومَين، فيُحسب الارتفاع أولاً من:
h = s × sin(θ)
ثم عوِّض في معادلة المساحة. استخدام طول الساق مباشرةً يُعطي مساحة أكبر من الصحيحة.
الحالات الخاصة
الشرط
الشكل الناتج
المعادلة المبسَّطة
a = b
متوازي أضلاع
A = a × h
b = 0
مثلث
A = a / 2 × h
a = b والارتفاع = a
مربع أو مستطيل
A = a²
معادلة شبه المنحرف هي الأشمل بين معادلات مساحات الأشكال المستوية الأساسية، إذ تشمل المثلث ومتوازي الأضلاع بوصفهما حالتين حديَّتين.
مثال تطبيقي
قناة ري في دلتا النيل ذات مقطع عرضي شبه منحرف، عرض القاع 1.0 م وعرض سطح الماء 1.8 م وعمق الماء 0.7 م:
مساحة المقطع:
A = (1.0 + 1.8) / 2 × 0.7 = 1.4 × 0.7 = 0.98 م²
بضرب هذه المساحة في سرعة التدفق نحصل على التدفق الحجمي (م³/ث)، وهو حساب أساسي في هندسة الري والصرف الزراعي.
مثال آخر: قطعة أرض شبه منحرف الشكل طول قاعدتها 15 م و25 م وارتفاعها العمودي 20 م، مساحتها = (15 + 25) / 2 × 20 = 400 م².
الأسئلة الشائعة (FAQ)
ما معادلة مساحة شبه المنحرف؟
مساحة شبه المنحرف = (a + b) / 2 × h، حيث a و b هما القاعدتان المتوازيتان و h هو الارتفاع العمودي بينهما. والفكرة ببساطة هي ضرب متوسط القاعدتين في الارتفاع. مثال: شبه منحرف قاعدته العليا 8 سم والسفلى 5 سم وارتفاعه 4 سم، مساحته = (8 + 5) / 2 × 4 = 6.5 × 4 = 26 سم².
ما الفرق بين شبه المنحرف وشبه المنحرف المتساوي الساقين؟
شبه المنحرف هو رباعي الأضلاع الذي فيه ضلعان متوازيان فقط يُسمَّيان القاعدتين. أما شبه المنحرف المتساوي الساقين فهو نوع خاص منه تكون فيه ساقاه (الضلعان غير المتوازيين) متساويتين في الطول وهو شكل متماثل. معادلة المساحة واحدة للنوعين.
في الإنجليزية الأمريكية يُسمَّى trapezoid، وفي الإنجليزية البريطانية trapezium، وكلاهما يشير إلى نفس الشكل.
هل الارتفاع هو طول الساق أم المسافة العمودية؟
الارتفاع h في المعادلة هو دائماً المسافة العمودية بين القاعدتين، أي المسافة المقاسة بزاوية قائمة. وليس طول الساق المائلة. عند توفر طول الساق s والزاوية θ التي تصنعها مع القاعدة، يُحسب الارتفاع أولاً من h = s × sin(θ) ثم يُطبَّق على المعادلة. استخدام طول الساق مباشرةً بدلاً من الارتفاع يعطي مساحة أكبر من الصحيحة.
هل متوازي الأضلاع حالة خاصة من شبه المنحرف؟
نعم. عندما تتساوى القاعدتان (a = b) يصبح الشكل متوازي أضلاع وتُبسَّط المعادلة إلى A = a × h، وهي معادلة مساحة متوازي الأضلاع بالضبط. وإذا كانت إحدى القاعدتين صفراً (b = 0) أصبح الشكل مثلثاً وتُبسَّط المعادلة إلى A = a / 2 × h. وهكذا تُعدُّ معادلة شبه المنحرف الأشمل بين معادلات مساحات الأشكال المستوية الأساسية.
