حاسبة المثلث (ز.ض.ز) — ضلع واحد وزاويتان

آخر تحديث: 2026-05-18

حل المثلث بمعرفة ضلع واحد وزاويتين مجاورتين (ز.ض.ز)

تنشأ حالة ز.ض.ز (زاوية-ضلع-زاوية) عندما يكون الضلع المعلوم محصوراً بين زاويتين معلومتين. وبما أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180°، تُحسب الزاوية الثالثة بطرح بسيط. ثم يُوظَّف قانون الجيب لإيجاد الأضلاع الباقية، فيما يعطي قانون الجيب الموسَّع نصف قطر الدائرة المحيطة مباشرةً.

الخطوة الأولى: إيجاد الزاوية الثالثة

$C = 180° - A - B$

لا تستلزم هذه العملية أي دالة مثلثية. بمجرد معرفة زاويتين تتحدد هيئة المثلث تماماً، ويحدد الضلع المعلوم حجمه.

الخطوة الثانية: حساب الأضلاع المجهولة بقانون الجيب

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

بالضلع المعلوم $c$ والزاوية المشتقة $C$:

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

مثال تطبيقي

للمثلث الذي يكون فيه $c = 8$، $A = 50°$، $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.766}{0.940} \approx 6.527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0.866}{0.940} \approx 7.378$

حساب المساحة

يمكن حساب مساحة المثلث مباشرةً من بيانات ز.ض.ز دون الحاجة إلى إيجاد الأضلاع أولاً:

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

تتجنب هذه الصيغة أخطاء التقريب الناجمة عن الحسابات الوسيطة.

نصف قطر الدائرة المحيطة من قانون الجيب الموسَّع

النسبة المشتركة في قانون الجيب تساوي قطر الدائرة المحيطة:

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

في المثال السابق: $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4.257$.

في المثلث القائم ($C = 90°$، $\sin 90° = 1$): $R = c/2$، أي نصف قطر الدائرة المحيطة يساوي نصف الوتر، وهي نتيجة مباشرة من قانون الجيب.

نصف قطر الدائرة المحاطة

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ز.ض.ز مقابل ز.ز.ض

كلا التشكيلين يحدد المثلث بصورة فريدة:

• ز.ض.ز: الضلع المعلوم محصور بين الزاويتين.
• ز.ز.ض: الضلع المعلوم غير محصور بين الزاويتين.

عددياً، يُحلّ الحالتان بطريقة متطابقة: تُحسب $C$ أولاً، ثم يُطبَّق قانون الجيب. يهم الفرق في براهين التطابق الهندسي، لكنه لا يؤثر على الحساب.

حدود تطبيق قانون الجيب

عند تطبيق قانون الجيب على حالة ض.ض.ز (ضلعان وزاوية غير محصورة)، قد توجد مثلثات متعددة تحقق القياسات ذاتها، وهو ما يُعرف بالحالة الملتبسة. تعتمد هذه الحاسبة على شرط ز.ض.ز الذي يستلزم أن يكون الضلع المعلوم محصوراً بين الزاويتين، مما يُلغي أي التباس.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أحل مثلثاً إذا عرفت ضلعاً واحداً والزاويتين المجاورتين له؟

نبدأ بإيجاد الزاوية الثالثة: C = 180° − A − B. ثم نطبق قانون الجيب (a ÷ جا A = c ÷ جا C) لحساب الضلعين المجهولين: a = c × جا A ÷ جا C و b = c × جا B ÷ جا C. مثال: c = 8، A = 50°، B = 60°: C = 70°، a = 8 × جا 50° ÷ جا 70° ≈ 6.527، b = 8 × جا 60° ÷ جا 70° ≈ 7.378.

ما هو قانون الجيب وكيف يُستخدم في حل المثلثات؟

ينص قانون الجيب على أنه في أي مثلث: a ÷ جا A = b ÷ جا B = c ÷ جا C = 2R، حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة. هذه النسبة المشتركة تساوي قطر الدائرة المحيطة. يُستخدم قانون الجيب عندما تكون زاوية وضلعها المقابل معلومَين (ز.ض.ز أو ز.ز.ض)، ويُفضَّل قانون جيب التمام عند معرفة ضلعين وزاوية (ض.ز.ض أو ض.ض.ض).

ما العلاقة بين نصف قطر الدائرة المحيطة وقانون الجيب؟

يعطي قانون الجيب المعمَّم مباشرةً: R = c ÷ (2 جا C). أي أن نصف قطر الدائرة المحيطة يساوي أي ضلع مقسوماً على ضعف جيب الزاوية المقابلة. في المثلث القائم (C = 90°)، جا 90° = 1، لذا R = c ÷ 2: نصف قطر الدائرة المحيطة يساوي نصف الوتر. في حالة ز.ض.ز، نحسب R من الضلع المعلوم c والزاوية المشتقة C.

ما الفرق بين حالة ز.ض.ز وحالة ز.ز.ض في المثلثات؟

ز.ض.ز (زاوية-ضلع-زاوية) تعني أن الضلع المعلوم يقع بين الزاويتين المعلومتين. أما ز.ز.ض (زاوية-زاوية-ضلع) فتعني أن الضلع المعلوم لا يقع بين الزاويتين.

كلا التشكيلين يحددان المثلث بصورة فريدة، وتُحل بنفس الطريقة عبر قانون الجيب بعد حساب الزاوية الثالثة C = 180° − A − B. يهم الفرق في براهين التطابق الهندسي، لكنه لا يؤثر على الحساب العددي.