حاسبة المثلث (ض.ز.ض) — ضلعان والزاوية المحصورة

آخر تحديث: 2026-05-18

حل مثلث من ضلعين والزاوية المحصورة (ض.ز.ض)

حالة ض.ز.ض (ضلع-زاوية-ضلع) هي إحدى أكثر حالات حل المثلثات شيوعاً: يُعطى ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، والمطلوب إيجاد بقية العناصر.

تُستخدم قاعدة جيب التمام أولاً لإيجاد الضلع الثالث، ثم يُعامَل المثلث معاملة حالة ض.ض.ض.

إيجاد الضلع الثالث

إذا كان الضلعان $a$ و$b$ والزاوية المحصورة $C$ معلومين، فإن الضلع $c$ المقابل لـ $C$ يُحسب بالصيغة:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

مثال تطبيقي — $a = 5$، $b = 7$، $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.245$

عندما $C = 90°$، يكون $\cos 90° = 0$ وتختزل الصيغة إلى نظرية فيثاغورس.

المساحة من ض.ز.ض

تُحسب المساحة مباشرةً من الضلعين والزاوية المحصورة دون الحاجة إلى إيجاد $c$ أولاً:

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

في المثال أعلاه: $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.155$.

إيجاد الزوايا المتبقية

بعد معرفة $c$، يُعاد تطبيق قاعدة جيب التمام لإيجاد الزاوية $A$:

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

ثم $B = 180° - A - C$.

يمكن أيضاً استخدام قانون الجيب: $A = \arcsin(a\sin C \div c)$، غير أن صيغة جيب التمام أكثر أماناً لأن $\arcsin$ يُعطي نتيجة ملتبسة عند الزوايا المنفرجة.

نصفا قطر الدائرتين المحيطة والمحاطة

بمعرفة الأضلاع الثلاثة والمساحة:

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{حيث } s = \frac{a+b+c}{2}$

للمثلث القائم 3-4-5 ($a = 3$، $b = 4$، $C = 90°$): $c = 5$، $S = 6$، $R = 2.5$، $r = 1$.

مقارنة بين ض.ز.ض وض.ض.ض

المعطيات	المطلوب	الطريقة
ض.ض.ض (ثلاثة أضلاع)	جميع الزوايا	قاعدة جيب التمام (3 مرات) + صيغة هيرون
ض.ز.ض (ضلعان + زاوية محصورة)	الضلع الثالث ثم الزوايا	قاعدة جيب التمام → ض.ض.ض

تُفضَّل ض.ز.ض عندما تُقاس الزاوية مباشرةً بمنقلة أو جهاز مساحة. بعد حساب الضلع الثالث تتحول المسألة إلى حالة ض.ض.ض.

الحالة الملتبسة (ض.ض.ز) — ليست ض.ز.ض

تشترط ض.ز.ض أن تكون الزاوية محصورةً بين الضلعين المعلومَين. إذا لم تكن كذلك، نكون أمام حالة ض.ض.ز الملتبسة التي قد تُعطي صفراً أو حلاً واحداً أو حلين. لا تتناول هذه الحاسبة إلا حالة ض.ز.ض الواضحة المحددة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أجد الضلع الثالث في مثلث إذا عرفت ضلعين والزاوية بينهما؟

نطبق قانون جيب التمام: c² = a² + b² − 2ab cos C. مثال: a = 5، b = 7، C = 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39، إذاً c = √39 ≈ 6.245. عندما C = 90°، تصبح cos 90° = 0 وتختزل الصيغة إلى نظرية فيثاغورس.

ما المقصود بحالة ض.ز.ض في المثلثات؟

ض.ز.ض (ضلع-زاوية-ضلع) تعني أن ضلعين والزاوية المحصورة بينهما معلومان. وهي شرط من شروط تطابق المثلثات: مثلثان يتطابقان إذا تشاركا نفس التشكيل ض.ز.ض. أما إذا كانت الزاوية غير محصورة بين الضلعين، فنكون أمام حالة ض.ض.ز الملتبسة التي قد تُعطي صفراً أو حلاً واحداً أو حلين.

كيف أستخرج جميع الزوايا بعد حل الحالة ض.ز.ض؟

بعد إيجاد الضلع c نعيد تطبيق قانون جيب التمام: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc))، ثم B = 180° − A − C. يمكن أيضاً استخدام قانون الجيب: A = arcsin(a sin C ÷ c)، لكن صيغة جيب التمام أكثر أماناً لأن arcsin قد يُعطي نتيجة ملتبسة عند الزوايا المنفرجة.

متى أستخدم ض.ز.ض ومتى أستخدم ض.ض.ض؟

استخدم ض.ض.ض عندما تعرف الأضلاع الثلاثة. واستخدم ض.ز.ض عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة؛ احسب الضلع الثالث أولاً بقانون جيب التمام ثم تابع كما في ض.ض.ض. عملياً، تظهر حالة ض.ز.ض عند قياس الزاوية مباشرة بمنقلة أو جهاز مساحة، بينما تنشأ ض.ض.ض عند قياس الأضلاع الثلاثة فيزياً.