حاسبة المثلث (ض-ض-ض) — ثلاثة أضلاع

آخر تحديث: 2026-05-18

حلّ المثلث من الأضلاع الثلاثة (ض-ض-ض)

حين تُعرف أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، يُتيح قانون جيب التمام حساب جميع الزوايا والمساحة ونصفَي قطر الدائرتين المحيطة والمحاطة.

قانون جيب التمام

في مثلث أضلاعه $a$ و$b$ و$c$ وزوايا مقابلة $A$ و$B$ و$C$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

ومنه: $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

يُطبَّق القانون مرتين للحصول على $A$ و$B$، ثم $C = 180° - A - B$.

مثال حسابي — المثلث 3-4-5:

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0.8) \approx 36.87°$

$B \approx 53.13°, \quad C = 90°$

متباينة المثلث

لا تُشكّل أي ثلاثة أطوال مثلثاً بالضرورة؛ يجب أن يتحقق:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

مثلاً، الأطوال 1 و2 و10 لا تكوّن مثلثاً لأن $1 + 2 = 3 < 10$.

المساحة بصيغة هيرون

تُحسب المساحة مباشرةً من الأضلاع دون الحاجة إلى الزوايا. أولاً نحسب نصف المحيط:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

ثم صيغة هيرون:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

للمثلث 3-4-5: $s = 6$، $S = \sqrt{36} = 6$.

نصفا قطر الدائرتين المحيطة والمحاطة

نصف قطر الدائرة المحيطة $R$ (تمرّ بالرؤوس الثلاثة):

$R = \frac{abc}{4S}$

نصف قطر الدائرة المحاطة $r$ (تماسّ الأضلاع الثلاثة):

$r = \frac{S}{s}$

للمثلث 3-4-5: $R = 60/24 = 2.5$ و$r = 1$.

وفي أي مثلث قائم الزاوية، $R = c/2$ (نصف الوتر) — وهو اختبار مريح للتحقق.

الصلة بنظرية فيثاغورس

عند $C = 90°$، يكون $\cos 90° = 0$ فيختزل قانون جيب التمام إلى:

$c^2 = a^2 + b^2$

وهذه هي نظرية فيثاغورس، وهي حالة خاصة من قانون جيب التمام.

أبرز الثلاثيات الفيثاغورية

a	b	c	المساحة
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

كل مضاعف صحيح موجب لأي ثلاثية هو بدوره ثلاثية فيثاغورية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

كيف أحسب زوايا المثلث إذا عرفت أطوال أضلاعه الثلاثة؟

يُستخدم قانون جيب التمام: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)، ومنه A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). تُكرّر العملية لإيجاد B، ثم C = 180° − A − B. مثال: أضلاع 3 و4 و5 تعطي A ≈ 36.87°، B ≈ 53.13°، C = 90°.

ما قانون جيب التمام ومتى يُستعمل؟

يُعمّم قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس على أي مثلث: c² = a² + b² − 2ab cos C. يُستخدم في حالة الأضلاع الثلاثة (ض-ض-ض) لإيجاد الزوايا، وفي حالة ضلع-زاوية-ضلع (ض-ز-ض) لإيجاد الضلع الثالث. عند C = 90°، يُختزل القانون إلى نظرية فيثاغورس.

كيف أحسب أنصاف أقطار الدائرتين المحيطة والمحاطة من الأضلاع الثلاثة؟

نصف قطر الدائرة المحيطة R (المارة بالرؤوس الثلاثة): R = abc ÷ (4S). نصف قطر الدائرة المحاطة r (المماسة للأضلاع الثلاثة): r = S ÷ s، حيث s = (a + b + c) ÷ 2. للمثلث 3-4-5: S = 6، فيكون R = 60 ÷ 24 = 2.5 و r = 6 ÷ 6 = 1.

هل يُمكن لأي ثلاثة أطوال أن تُشكّل مثلثاً؟

لا. تشترط متباينة المثلث أن يكون كل ضلع أقل من مجموع الضلعين الآخرين: a + b > c، وb + c > a، وa + c > b. فمثلاً الأطوال 1 و2 و10 لا تُشكّل مثلثاً لأن 1 + 2 = 3 < 10. وإن تحقق التساوي، نتج مثلث منحل (مساحته صفر).

ما الفرق بين طريقة ض-ض-ض وصيغة هيرون؟

تُعطي صيغة هيرون المساحة فقط من الأضلاع الثلاثة، أما طريقة ض-ض-ض (قانون جيب التمام) فتُضيف إليها جميع الزوايا وأنصاف أقطار الدائرتين. في التطبيق العملي تُجمع الطريقتان: المساحة بصيغة هيرون، ثم R = abc ÷ (4S) و r = S ÷ s.