حاسبة الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا)

آخر تحديث: 2026-05-19

نطاق الحساب

الدوال المثلثية دوال رياضية تربط زوايا المثلث القائم بنسب أضلاعه، وتُحسب هنا قيم الدوال الست — الجيب (جا)، وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا)، وقاطع التمام (قتا)، والقاطع (قا)، وظل التمام (ظتا) — لأي زاوية بالدرجات أو الراديان. تُكتشف الزوايا الحرجة كـ 90° تلقائياً حيث تكون بعض الدوال غير معرفة رياضياً، وتظهر رسالة توضيحية بدلاً من قيمة خاطئة.

يلجأ إلى هذه الأداة الطلاب والمهندسون والمبرمجون للتحقق من الحسابات، والتحقق من صحة الصيغ، أو لاستكشاف كيفية تغيّر القيم المثلثية على مدى الزوايا.

التعريف من خلال المثلث القائم

لزاوية حادة θ في مثلث قائم الزاوية، تُعرَّف الدوال المثلثية الثلاث الأساسية كما يلي:

الدالة	الاسم	النسبة
جا(θ)	الجيب	الضلع المقابل ÷ الوتر
جتا(θ)	جيب التمام	الضلع المجاور ÷ الوتر
ظا(θ)	الظل	الضلع المقابل ÷ الضلع المجاور

تشتق الدوال العكسية الثلاث مباشرةً من العلاقات السابقة:

• قتا(θ) = 1/جا(θ) — قاطع التمام
• قا(θ) = 1/جتا(θ) — القاطع
• ظتا(θ) = جتا(θ)/جا(θ) — ظل التمام

دائرة الوحدة

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 مركزها نقطة الأصل. لأي زاوية θ تُقاس عكس عقارب الساعة من المحور الموجب لـ x، تكون إحداثيات النقطة المقابلة على الدائرة (جتا θ، جا θ). وهذا يعني:

• جتا θ هو إحداثي x لتلك النقطة.
• جا θ هو إحداثي y.
• ظا θ هو ميل المستقيم من نقطة الأصل إلى تلك النقطة: جا θ / جتا θ.

ولأن نصف القطر يساوي 1، تنبثق المتطابقة الأساسية مباشرةً من مبرهنة فيثاغورس:

جا²(θ) + جتا²(θ) = 1

تمتد دائرة الوحدة لتشمل أي زاوية — بما فيها الزوايا السالبة (في اتجاه عقارب الساعة) والزوايا التي تتجاوز 360°.

مثال تطبيقي: ميل منحدر

منحدر يرتفع 1.5 م على مسافة أفقية 8 م. ما الزاوية التي يكوّنها مع الأرض؟ وما قيم الدوال المثلثية عندها؟

الخطوة 1 — إيجاد الزاوية: ظا(θ) = المقابل/المجاور = 1.5/8 = 0.1875، إذن θ = arctan(0.1875) ≈ 10.62°

الخطوة 2 — قيم الدوال عند 10.62°:

الدالة	القيمة	التفسير
جا(10.62°)	≈ 0.1843	المنحدر يرتفع 0.184 م لكل متر طول
جتا(10.62°)	≈ 0.9829	98.3% من طول المنحدر مكوّن أفقي
ظا(10.62°)	≈ 0.1875	نسبة الارتفاع إلى المسافة الأفقية
قتا(10.62°)	≈ 5.426	طول المنحدر اللازم لكل متر ارتفاع
قا(10.62°)	≈ 1.017	طول المنحدر لكل متر أفقي
ظتا(10.62°)	≈ 5.333	نسبة المسافة الأفقية إلى الارتفاع

أدخل 10.62 درجة في الحاسبة للتحقق من النتائج.

القيم الدقيقة للزوايا الأساسية

θ (درجات)	θ (راديان)	جا	جتا	ظا
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
45°	π/4	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	1
60°	π/3	$\sqrt{3}/2$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	π/2	1	0	غير معرف
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	غير معرف

حفظ قيم 30°-45°-60° يكفي في أغلب الحالات؛ بقية القيم تُستنتج من التماثل والدورية.

الدورية والتماثل

تتكرر الدوال المثلثية بفترة زمنية ثابتة:

• جا وجتا: الدورة 360° (2π راديان) — القيم تتكرر عند كل دورة كاملة.
• ظا وظتا: الدورة 180° (π راديان) — تتكرر بسرعة مضاعفة.

قواعد التماثل الرئيسية:

• جا(−θ) = −جا(θ) — الجيب دالة فردية.
• جتا(−θ) = جتا(θ) — جيب التمام دالة زوجية.
• جا(180° − θ) = جا(θ) — الجيب متماثل حول 90°.
• جتا(180° − θ) = −جتا(θ) — جيب التمام يغيّر إشارته عند 90°.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما الفرق بين الدرجة والراديان؟ وأيهما أستخدم؟

الدرجة تقسّم الدائرة الكاملة إلى 360 قسماً متساوياً، وهي الأكثر شيوعاً في الهندسة اليومية. أما الراديان فيقيس الزاوية عبر طول القوس: راديان واحد هو الزاوية التي يكون فيها طول القوس مساوياً للنصف قطر، وبالتالي الدائرة الكاملة = 2π ≈ 6.283 راديان.

للتحويل: الدرجات × π/180 = راديان، والراديان × 180/π = درجات. معظم لغات البرمجة (JavaScript, Python, C) تستخدم الراديان داخلياً في الدوال المثلثية.

لماذا ظا(90°) غير معرف؟

الظل يُعرَّف بالعلاقة جا(θ)/جتا(θ). عند θ = 90° بالضبط، جتا(θ) = 0، فيكون القسمة على صفر ولا توجد قيمة منتهية. تزداد قيمة الظل بلا حدود كلما اقتربت θ من 90° من الأسفل، وتأتي من سالب اللانهاية من الأعلى — هذا ما يسمى المقارب العمودي.

ينطبق الأمر ذاته على 270° و450° وغيرها من المضاعفات الفردية لـ 90°، كما أن القاطع = 1/جتا θ غير معرف أيضاً عند هذه الزوايا.

كيف أقرأ قيم الدوال المثلثية من دائرة الوحدة؟

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1 مركزها نقطة الأصل. لأي زاوية θ تُقاس عكس عقارب الساعة من المحور الموجب لـ x، تكون إحداثيات النقطة المقابلة على الدائرة هي (جتا θ، جا θ). إحداثي x يعطي جيب التمام مباشرة، وإحداثي y يعطي الجيب.

الظل هو ميل المستقيم من نقطة الأصل إلى تلك النقطة: جا θ / جتا θ. وتنبثق العلاقة جا²θ + جتا²θ = 1 مباشرة من تطبيق مبرهنة فيثاغورس على مثلث دائرة الوحدة.

ما هي قتا وقا وظتا؟

هي الدوال المثلثية العكسية الثلاث. قاطع التمام قتا(θ) = 1/جا θ، والقاطع قا(θ) = 1/جتا θ، وظل التمام ظتا(θ) = جتا θ/جا θ. تظهر في التكاملات وبعض صيغ الفيزياء والكتب المدرسية القديمة.

للحفظ: قتا هو مقلوب جا (وليس جتا)، وقا هو مقلوب جتا (وليس جا). البادئة «جتا/تمام» تشير إلى دالة الزاوية التكميلية، لا إلى مقلوب الدالة ذات الاسم المشابه.