حاسبة مقدار المتجه

آخر تحديث: 2026-05-19

ما هو مقدار المتجه؟

مقدار المتجه هو طوله، أي المسافة المستقيمة من نقطة الأصل إلى طرف السهم. للمتجه v = (v₁, v₂, …, vₙ) في الفضاء ذي n بُعداً، يُعطى المقدار الإقليدي بالصيغة:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

تقبل هذه الحاسبة أي عدد من المركبات المفصولة بفواصل (مثل 3, 4 للمتجه الثنائي، أو 1, 2, 3 للمتجه الثلاثي) وتُعيد المقدار وعدد الأبعاد والمتجه الوحدوي المشير إلى نفس الاتجاه.

أصل الصيغة

تنبع هذه الصيغة من نظرية فيثاغورس مُعمَّمةً إلى n بُعد. في البعدين، يُشكِّل المتجه (a, b) وتراً لمثلث قائم أضلاعه a وb، فيكون $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$. في الأبعاد الثلاثة، يُمثِّل المتجه (a, b, c) قطر صندوق مستطيل الأضلاع، فيُصبح $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. وتنسحب الفكرة ذاتها على أي عدد من الأبعاد: ارفع كل مركبة إلى القوة الثانية، اجمع الناتج، ثم خذ الجذر التربيعي.

مثال محلول

المطلوب: أوجد مقدار ومتجه الوحدة للمتجه v = (3, 4, 12).

الخطوة 1 — تربيع المركبات وجمعها: $3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

الخطوة 2 — استخراج الجذر التربيعي: $|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

الخطوة 3 — قسمة كل مركبة على المقدار للحصول على المتجه الوحدوي: $\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0.230769,\ 0.307692,\ 0.923077)$

التفسير: يبلغ طول المتجه (3, 4, 12) ثلاثة عشر وحدة. يحدد المتجه الوحدوي الاتجاه: لكل وحدة مسافة تُقطع في هذا الاتجاه، تُقطع 3/13 أفقياً و4/13 عمودياً و12/13 للأمام.

المتجه الوحدوي

المتجه الوحدوي هو متجه مقداره 1 بالضبط، يحتفظ باتجاه المتجه الأصلي ويُجرِّده من قيمته العددية. يُحسب بقسمة كل مركبة على المقدار:

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

للمتجهات الوحدوية تطبيقات واسعة في شتى المجالات:

• الفيزياء: اتجاهات القوى والسرعات، والمعاملات السطحية.
• الرسومات الحاسوبية: حسابات الإضاءة وتوجيه الكاميرا.
• تعلُّم الآلة: التشابه الجيبي تمامي (cosine similarity)، وتطبيع متجهات الميزات.
• الملاحة: استخراج الاتجاه من متجه الإزاحة.

إن كان المتجه صفرياً (جميع مركباته أصفار)، فمقداره صفر ولا وجود للمتجه الوحدوي — إذ يكون الاتجاه غير معرَّف.

المعايير الأخرى

المعيار الإقليدي (L²) هو الأكثر شيوعاً، لكن معيارَين آخرَين يُستخدمان بكثرة:

المعيار	الصيغة	التسمية الأخرى	الاستخدام الشائع
L¹	Σ |vᵢ|	معيار مانهاتن	النماذج المتفرقة (LASSO)، المسافة على الشبكة
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	المعيار الإقليدي	الهندسة، الفيزياء، التشابه الجيبي
L∞	max |vᵢ|	معيار تشيبيشيف	حركة قطعة الشطرنج، نظرية التحكم

تحسب هذه الحاسبة المعيار الإقليدي (L²)، وهو التعريف القياسي لـ"الطول" في أغلب السياقات العلمية والهندسية.

تطبيقات شائعة

• الفيزياء: حساب السرعة الاتجاهية (مقدار متجه السرعة) أو شدة القوة من مركباتها.
• الرسومات الحاسوبية: تطبيع المعاملات السطحية قبل حسابات الإضاءة.
• علم البيانات: تطبيع متجهات الميزات قبل البحث بالتشابه الجيبي.
• الروبوتات: تحديد مدى وصول الذراع الآلية من متجهات إزاحة المفاصل.
• نُظم الملاحة: تحويل إزاحات (Δشرق، Δشمال، Δارتفاع) إلى مسافة إجمالية.

إدخال البيانات

• أدخل المركبات مفصولة بفواصل: 3, 4 أو 1, 2, 3 أو 0.5, -1.2, 0.8, 2.0.
• المركبات السالبة مقبولة — التربيع يُزيل الإشارة.
• تعمل الكسور العشرية: 1.5, 2.5 يعطي |v| ≈ 2.915476.
• مركبة واحدة (مثل 5) تُعطي مقداراً يساوي 5 ومتجهاً وحدوياً يساوي (1)، وهو منسجم مع الصيغة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو مقدار المتجه؟

مقدار المتجه (ويُسمى أيضاً طوله أو معياره) هو المسافة المستقيمة من نقطة الأصل إلى طرف المتجه. للمتجه v = (v₁, v₂, …, vₙ)، يُحسب المقدار بالصيغة |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²)، وهو المعيار الإقليدي (L²) الذي يُعمِّم نظرية فيثاغورس إلى أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، مقدار المتجه (3, 4) هو √(9 + 16) = 5.

ما هو المتجه الوحدوي وكيف يُحسب؟

المتجه الوحدوي هو متجه مقداره 1 تماماً، يشير إلى نفس اتجاه المتجه الأصلي. يُستخرج بقسمة كل مركبة على المقدار: v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|).

يُستخدم المتجه الوحدوي في كل مكان يهم فيه الاتجاه دون المقدار، مثل المعاملات السطحية في الرسومات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد، واتجاه القوة في الفيزياء، وخطوات الانحدار التدريجي في تعلُّم الآلة.

كيف تمتد صيغة المقدار إلى الأبعاد الأعلى؟

الصيغة |v| = √(Σ vᵢ²) تنطبق على أي عدد من الأبعاد. للمتجه الثلاثي (a, b, c) تعطي √(a² + b² + c²)، وهو قطر الحجرة المستطيلة في الفضاء. في الأبعاد الأربعة وما فوق يصعب التصوّر الهندسي، لكن الجبر يبقى مطابقاً: اجمع مربعات جميع المركبات ثم خذ الجذر التربيعي. تقبل هذه الحاسبة أي عدد من القيم المفصولة بفواصل.

ما الفرق بين المعيار الإقليدي والمعيار مانهاتن ومعيار تشيبيشيف؟

المعيار الإقليدي (L²) هو الأشيع، لكن معيارين آخرين يظهران كثيراً: المعيار مانهاتن (L¹) يجمع القيم المطلقة ‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯، ويُستخدم في نماذج LASSO والمسافات على الشبكات العمرانية.

أما معيار تشيبيشيف (L∞) فيأخذ أكبر قيمة مطلقة ‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|)، ويُستخدم في مسائل حركة قطعة الشطرنج وبعض أنظمة التحكم. المعيار الإقليدي هو المعيار الافتراضي في أغلب السياقات العلمية والهندسية.