Dernière mise à jour : 2026-06-04

Définition de l'exponentiation

L'exponentiation est une multiplication répétée. L'expression $b^n$ signifie que la base $b$ est multipliée par elle-même $n$ fois :

Le nombre $b$ est la base et $n$ est l'exposant (également appelé puissance ou indice). Par exemple, $2^{10} = 1024$, car 2 est multiplié par lui-même 10 fois.

Les règles fondamentales des exposants

Ces six règles régissent le comportement des exposants sous les opérations arithmétiques. Chacune découle directement de la définition de la multiplication répétée.

Règle du produit — les exposants s'additionnent lors de la multiplication de puissances de même base : $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Règle du quotient — les exposants se soustraient lors de la division : $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

Puissance d'une puissance — les exposants se multiplient lors de l'élévation d'une puissance à une puissance : $(b^m)^n = b^{mn}$

Puissance d'un produit — l'exposant se distribue sur chaque facteur : $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Exposant zéro — tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1 : $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

Exposant négatif — un exposant négatif correspond à l'inverse : $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

Exposants négatifs

Un exposant négatif signifie « prendre l'inverse ». Par exemple :

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$

Ce résultat découle de la règle du quotient : $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$. Les exposants négatifs apparaissent en notation scientifique pour les très petites grandeurs ($10^{-9}$ correspond à 1 nanomètre) et en analyse dimensionnelle ($\text{m s}^{-1}$ pour une vitesse).

Exposants fractionnaires et racines

Un exposant fractionnaire représente une racine. La règle générale est :

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

Cas courants :

Pour qu'un exposant fractionnaire produise un nombre réel, la base doit être positive (ou l'exposant doit se simplifier en une fraction de dénominateur impair pour une base négative). Les résultats complexes sont hors du périmètre de l'arithmétique standard.

L'inverse

L'inverse de $b^n$ est $b^{-n} = 1/b^n$. Il vérifie $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$. L'inverse est indéfini lorsque $b^n = 0$, c'est-à-dire lorsque $b = 0$ et $n > 0$.

La convention $0^0$

Lorsque $b = 0$ et $n = 0$, l'expression $0^0$ est une forme indéterminée en analyse (car $0^x \to 0$ et $x^0 \to 1$ selon la direction de l'approche). En mathématiques discrètes, en combinatoire et en informatique, $0^0$ est universellement défini comme 1. Ce choix assure la cohérence des identités combinatoires (théorème du binôme, séries entières) aux cas limites. Ce calculateur suit la convention $0^0 = 1$.

Exemple numérique

Données : base $b = 3$, exposant $n = 4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Inverse :

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012346$

Vérification par la règle du produit :

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

Applications