Calculatrice de Suite Géométrique

Premier terme	2
Raison	3
Rang	10

Premier terme

Raison

Rang

Dernière mise à jour : 2026-06-04

Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur, appelée raison (r). Pour un premier terme a₁, la suite s'écrit :

a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\quad \ldots

Formule du n-ième terme

Le n-ième terme est :

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

On part de a₁ et on multiplie (n − 1) fois par r pour atteindre le rang n.

Exemple. Avec a₁ = 3 et r = 2, le 5e terme vaut 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48.

Somme des n premiers termes

La somme partielle Sₙ s'obtient en soustrayant r·Sₙ de Sₙ, ce qui annule tous les termes intermédiaires :

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \qquad (r \neq 1)

Lorsque r = 1, tous les termes valent a₁ et la somme se réduit à Sₙ = n · a₁.

Exemple résolu. Avec a₁ = 5 et r = 3, calculons la somme des quatre premiers termes. Les termes sont 5, 15, 45, 135. Par la formule :

S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot \frac{-80}{-2} = 200

Vérification directe : 5 + 15 + 45 + 135 = 200. ✓

Somme infinie et convergence

Lorsque |r| < 1, les termes décroissent vers zéro et les sommes partielles convergent vers une limite finie :

S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}

Cette formule s'obtient en faisant tendre n vers l'infini dans l'expression de Sₙ : le terme rⁿ tend vers zéro, ne laissant que a₁ / (1 − r).

Lorsque |r| ≥ 1, les termes ne tendent pas vers zéro et la série diverge.

Tableau de synthèse

Valeur de r	Comportement
\|r\| < 1	La série converge vers a₁ / (1 − r)
r = 1	Termes constants ; Sₙ croît sans borne
r = −1	Termes alternent entre a₁ et −a₁ ; la série oscille
\|r\| > 1	Les termes croissent en valeur absolue ; la série diverge

Exemple résolu. Une balle tombe d'une hauteur de 10 m ; chaque rebond atteint 60 % de la hauteur précédente (r = 0,6). La distance totale des rebonds vers le haut seul forme une série géométrique :

6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = 15 \text{ m}

Lien avec les intérêts composés

Les intérêts composés produisent une suite géométrique. Un capital P placé au taux annuel i donne au bout de n années :

A_n = P \cdot (1 + i)^n

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme P(1 + i) et de raison (1 + i). La somme des versements réguliers (annuités) utilise la formule de Sₙ pour calculer la valeur acquise d'une série de dépôts.

Le paradoxe de Zénon

Le paradoxe de la dichotomie de Zénon consiste à traverser une pièce en parcourant d'abord la moitié de la distance, puis la moitié du reste, et ainsi de suite. La distance totale est la série géométrique :

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1

Ce résultat — une infinité d'étapes pour une distance totale finie — est précisément la convergence d'une série géométrique de raison |r| < 1.

Questions fréquentes (FAQ)

À quelle condition la somme infinie d'une série géométrique converge-t-elle ?

La somme infinie S∞ = a₁ / (1 − r) converge si et seulement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1 (|r| < 1). Lorsque |r| ≥ 1, les termes ne tendent pas vers zéro : les sommes partielles croissent sans borne (ou oscillent indéfiniment pour r = −1).

Que se passe-t-il lorsque la raison est négative ?

Une raison négative entraîne une alternance de signe terme à terme : positif, négatif, positif, … Par exemple, avec a₁ = 4 et r = −0,5, la suite est 4 ; −2 ; 1 ; −0,5 ; 0,25 ; … Comme |r| = 0,5 < 1, la somme infinie converge : S∞ = 4 / (1 − (−0,5)) = 4 / 1,5 ≈ 2,667.

Quel est le lien entre une suite géométrique et la croissance exponentielle ?

Toute suite géométrique est une fonction exponentielle échantillonnée aux entiers : aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. Quand r > 1, elle modélise une croissance exponentielle (intérêts composés, croissance d'une population) ; quand 0 < r < 1, une décroissance exponentielle (désintégration radioactive, élimination d'un médicament). L'analogue continu est la fonction f(t) = a · eᵏᵗ.

La raison peut-elle être une fraction ou un décimal ?

Oui — r peut être n'importe quel nombre réel non nul, y compris les fractions et les décimaux. Une raison de 1/2 divise chaque terme par deux (1 ; 0,5 ; 0,25 ; …), tandis qu'une raison de 3/2 l'augmente de 50 % (1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,375 ; …). Les seules valeurs problématiques sont r = 0 (tous les termes suivants sont nuls, ce qui invalide la formule standard) et r = 1 (tous les termes valent a₁ et la somme infinie diverge).

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