Racine n-ième
Données
| Radicande | 27 |
|---|---|
| Indice de la racine | 3 |
Racine n-ième
Calcul de la racine n-ième principale d'un nombre réel. Prend en charge la racine carrée, la racine cubique et les indices supérieurs, avec affichage de la racine réelle négative pour les indices pairs.
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La racine n-ième d'un nombre x, notée ⁿ√x, est le nombre r tel que rⁿ = x. Pour n = 2, on retrouve la racine carrée classique ; pour n = 3, la racine cubique. La calculatrice détermine la racine n-ième principale réelle et, pour un indice pair avec x > 0, la racine réelle négative.
Définition et convention de racine principale
Pour x ≥ 0 et un entier n ≥ 2, l'équation rⁿ = x admet deux solutions réelles lorsque n est pair (l'une positive, l'autre négative) et une seule solution réelle lorsque n est impair. La racine n-ième principale est définie comme suit :
- ⁿ√x ≥ 0 pour x ≥ 0 (résultat positif ou nul)
- ⁿ√x < 0 pour x < 0 et n impair (extension naturelle aux radicandes négatifs)
Cette convention assure que ⁿ√x est une fonction au sens strict — un antécédent, une image — et non une relation multivaluée. Le symbole radical ⁿ√ désigne toujours la racine principale.
Formule
La racine n-ième principale est calculée par :
nx=sign(x)⋅∣x∣1/noù sign(x) vaut +1 pour x > 0, 0 pour x = 0 et −1 pour x < 0. Pour x > 0, l'expression se réduit à x^(1/n). Pour x < 0 avec n impair, la formule donne bien un résultat négatif : par exemple, ∛(−8) = −2.
Lien avec les exposants fractionnaires
La racine n-ième et l'exposant 1/n sont deux notations de la même opération :
nx=x1/nCette identité découle directement de la règle des puissances : (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x. Elle se généralise en x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), qui associe en un seul exposant fractionnaire une puissance m et une racine d'indice n. Sur une calculatrice scientifique, la touche habituelle pour ce calcul est y^x ou x^(1/n).
Racines d'indice pair d'un nombre négatif
Lorsque n est pair, rⁿ ≥ 0 pour tout réel r (une puissance paire d'un nombre négatif est positive). L'équation rⁿ = x n'a donc aucune solution réelle pour x < 0. Le résultat est alors un nombre complexe — un multiple de l'unité imaginaire i — qui se situe en dehors de la droite réelle.
Ainsi, √(−9) = 3i, et non −3. La valeur −3 vérifie (−3)² = 9, pas −9 ; ce n'est donc pas une racine carrée de −9.
Exemple numérique
Problème : Déterminer la racine quatrième principale de 81, et identifier toutes les racines réelles d'ordre 4 de ce nombre.
- Application de la formule : ⁴√81 = 81^(1/4).
- Calcul : 3⁴ = 81, donc 81^(1/4) = 3.
- La racine quatrième principale est 3.
- L'indice n = 4 étant pair et x = 81 > 0, une deuxième racine réelle existe : −3.
- Vérification : (−3)⁴ = 81. ✓
Les deux racines réelles d'ordre 4 de 81 sont 3 et −3 ; la racine principale est 3.
Nombre de racines réelles
Dans l'ensemble des réels, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre x dépend de la parité de n :
| Indice n | Racines réelles de x > 0 | Racine réelle de x < 0 |
|---|---|---|
| impair | 1 (positive) | 1 (négative) |
| pair | 2 (positive et négative) | aucune (complexes seulement) |
Dans le corps des complexes, tout nombre non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes, régulièrement réparties sur un cercle du plan complexe. La racine principale est celle dont l'argument (l'angle) est minimal et positif.
Lien avec les logarithmes
Pour x > 0, la racine n-ième peut également s'exprimer à l'aide du logarithme naturel :
nx=e(lnx)/n(x>0)Cette forme est parfois utilisée dans les algorithmes numériques lorsqu'une puissance directe n'est pas disponible. Pour x < 0 avec n impair, on calcule −(ⁿ√|x|).
Applications
- Mise à l'échelle géométrique : si un cube a un volume V, la longueur de son arête est ∛V, la racine cubique du volume.
- Croissance composée : si un capital est multiplié par un facteur F sur n périodes, le facteur par période est ⁿ√F.
- Statistiques : la moyenne géométrique de n valeurs est égale à la racine n-ième de leur produit.
- Traitement du signal : les valeurs efficaces (RMS) font intervenir une racine carrée ; des normes d'ordre supérieur utilisent des racines d'indice plus élevé.
Questions fréquentes (FAQ)
Peut-on extraire une racine d'indice pair d'un nombre négatif ?
Non, dans l'ensemble des réels. Une racine d'indice pair exige un radicande positif ou nul, car aucun nombre réel élevé à une puissance paire ne peut donner un résultat négatif. Par exemple, 3² = 9 et (−3)² = 9 sont tous deux positifs, de sorte que √(−9) n'a pas de valeur réelle. Le résultat est un nombre complexe faisant intervenir l'unité imaginaire i, que cette calculatrice ne traite pas.
Quelle différence y a-t-il entre √x et la racine n-ième principale ?
Le symbole √ désigne la racine carrée principale (positive ou nulle), cas particulier de la racine n-ième avec n = 2. La racine n-ième principale est définie comme la racine réelle ayant le même signe que x. Elle est positive pour x > 0 et négative pour x < 0 avec un indice impair. La convention de « principale » garantit que la fonction renvoie une valeur unique et bien définie.
Quel est le lien entre la racine n-ième et un exposant fractionnaire ?
La racine n-ième et l'exposant 1/n désignent la même opération : ⁿ√x = x^(1/n). Cette équivalence découle de la règle (x^a)^b = x^(ab) : (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x, ce qui confirme que x^(1/n) est bien l'inverse de la n-ième puissance. De façon plus générale, x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), combinant en un seul exposant fractionnaire une puissance m et une racine n. Sur une calculatrice scientifique, on utilise généralement la touche y^x ou x^(1/n) pour calculer une racine quelconque.
Pourquoi une équation tⁿ = x admet-elle plusieurs racines n-ièmes ?
L'équation tⁿ = x peut avoir plusieurs solutions selon la parité de n. Pour un indice pair et x > 0, t = ⁿ√x et t = −ⁿ√x vérifient toutes deux tⁿ = x : il existe donc deux racines réelles. Pour un indice impair, il n'existe qu'une seule racine réelle (positive ou négative selon le signe de x). Dans le corps des complexes, tout nombre non nul admet exactement n racines n-ièmes distinctes, régulièrement espacées sur un cercle du plan complexe — mais seules les racines réelles sont présentées ici.
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