Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Che cosa misura il coefficiente di restituzione

Il coefficiente di restituzione $e$ riassume in un solo numero quanto un urto sia "rimbalzante". Confronta la rapidità con cui due corpi si separano dopo l'impatto con quella con cui si avvicinavano prima:

$e = \frac{\text{relative speed of separation}}{\text{relative speed of approach}}$

Essendo un rapporto tra due rapidità, $e$ è adimensionale. Negli urti ordinari assume valori tra 0 e 1:

• $e = 1$ — un urto perfettamente elastico. I corpi si separano con la stessa rapidità con cui si erano avvicinati e non si perde energia cinetica.
• $e = 0$ — un urto perfettamente anelastico. I corpi non si separano affatto, proseguono uniti e perdono la massima frazione di energia cinetica che la conservazione della quantità di moto consente.

Gli urti reali si collocano tra questi limiti. Questo calcolatore trova $e$ in due modi: da una prova di caduta e rimbalzo o direttamente dalle velocità prima e dopo un urto.

Dall'altezza di rimbalzo

Il modo più semplice per misurare $e$ di una palla è lasciarla cadere su un pavimento duro e fisso e osservare l'altezza del rimbalzo. Il pavimento si muove a malapena, quindi le rapidità relative sono semplicemente le rapidità proprie della palla all'istante del contatto.

Un corpo lasciato cadere dall'altezza $h_d$ raggiunge il pavimento con rapidità $\sqrt{2 g h_d}$, e rimbalzare fino all'altezza $h_b$ richiede una rapidità di partenza $\sqrt{2 g h_b}$. Il loro rapporto è il coefficiente di restituzione:

$e = \frac{\sqrt{2 g h_b}}{\sqrt{2 g h_d}} = \sqrt{\frac{h_b}{h_d}}$

L'accelerazione di gravità si semplifica, quindi conta solo il rapporto delle altezze. L'altezza di rimbalzo non può mai superare quella di caduta, il che mantiene $e$ minore o uguale a 1.

Dalle velocità

In un urto generico tra due corpi si usano le velocità lungo la linea d'urto. Con velocità di avvicinamento $u_1$ e $u_2$ e velocità di separazione $v_1'$ e $v_2'$:

$e = \frac{\left|v_2' - v_1'\right|}{\left|u_1 - u_2\right|}$

Le velocità hanno segno. Scegliete una direzione come positiva e mantenete questa convenzione per tutti e quattro i valori, così due corpi che si incontrano frontalmente hanno segni opposti. Le barre di valore assoluto fanno sì che il risultato dipenda solo dai moduli delle rapidità di avvicinamento e di separazione.

Esempio svolto: una palla che rimbalza

Una palla viene lasciata cadere da $h_d = 1\ \text{m}$ e rimbalza fino a $h_b = 0,6\ \text{m}$.

$e = \sqrt{\frac{0.6}{1}} = \sqrt{0.6} \approx 0.775$

Un $e$ di circa 0,775 significa che a ogni rimbalzo si conserva circa il 60 % dell'energia cinetica, poiché l'energia va come il quadrato della rapidità e $e^2 = 0{,}6$. Dopo il secondo rimbalzo la palla raggiungerebbe circa $0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\ \text{m}$, e le altezze di rimbalzo continuano a ridursi dello stesso fattore 0,6 ogni volta.

Esempio svolto: un urto frontale

Il corpo 1 si muove verso destra a $u_1 = 5\ \text{m/s}$ verso il corpo 2 in quiete ($u_2 = 0$). Dopo l'impatto il corpo 1 rimbalza a $v_1' = -1\ \text{m/s}$ e il corpo 2 riparte a $v_2' = 2\ \text{m/s}$.

$e = \frac{\left|2 - (-1)\right|}{\left|5 - 0\right|} = \frac{3}{5} = 0.6$

La rapidità di avvicinamento era 5 m/s e quella di separazione è 3 m/s, quindi l'urto restituisce il 60 % della rapidità di avvicinamento.

Valori tipici

Le federazioni sportive fissano spesso un intervallo consentito di altezza di rimbalzo per l'attrezzatura ufficiale, il che equivale a mantenere il coefficiente di restituzione entro limiti stretti. Temperatura, rigidità della superficie e rapidità dell'impatto spostano tutte $e$, perciò le prove di rimbalzo si svolgono in condizioni normalizzate.

Relazione con i calcolatori d'urto

Il coefficiente di restituzione collega i modelli perfettamente elastico e perfettamente anelastico. Combinato con la conservazione della quantità di moto, un $e$ noto consente di prevedere entrambe le velocità finali di un urto unidimensionale: l'equazione della quantità di moto ne fissa la somma e quella di restituzione la differenza. È così che in pratica si risolvono i problemi d'urto tra i due estremi ideali.