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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatrice della legge di raffreddamento di Newton

Dati di input

CalcolaTemperatura dopo un tempo
Temperatura iniziale90 °C
Temperatura ambiente20 °C
Costante di raffreddamento k0,05 min⁻¹
Temperatura obiettivo40 °C
Temperatura misurata60 °C

Grafico

Temperatura in funzione del tempo
Tempo (min)Temperatura al tempo (°C)
-273,15 °C at 0 min

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/physics/newtons-law-cooling

Fisica

Calcolatrice della legge di raffreddamento di Newton

Applica la legge di raffreddamento di Newton T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt) per calcolare come la temperatura di un corpo si avvicina a quella dell’ambiente. Trova la temperatura dopo un tempo dato, il tempo per raggiungere una temperatura obiettivo o la costante di raffreddamento k da una singola misura, con costante di tempo, emivita e curva di raffreddamento.

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\begin{aligned} T(t) &= T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t} \\ &= ?\,\text{°C} \end{aligned}

Dettagli

Curva di raffreddamento

Temperatura in funzione del tempo
Tempo (min)Temperatura al tempo (°C)
-273,15 °C at 0 min

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La legge di raffreddamento di Newton

La legge di raffreddamento di Newton descrive come un corpo caldo cede calore a un ambiente più freddo, o come un corpo freddo lo acquista da uno più caldo. L'idea centrale è semplice: la rapidità del raffreddamento è fissata da quanto la temperatura del corpo dista da quella di ciò che lo circonda. Una tazza di caffè molto caldo si raffredda in fretta; la stessa tazza, quando è solo di poco sopra la temperatura ambiente, si raffredda molto più lentamente. Scritta come equazione di velocità,

dTdt=−k (T−Tenv)\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_{env})

la differenza di temperatura (T−Tenv)(T - T_{env}) è il motore del processo e kk è la costante di raffreddamento. Risolvendo questa equazione si ottiene la curva esponenziale usata da questa calcolatrice:

T(t)=Tenv+(T0−Tenv) e−ktT(t) = T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}

Inserisci la temperatura iniziale T0T_0, quella ambiente TenvT_{env} e la costante di raffreddamento kk, e la calcolatrice restituisce la temperatura dopo un tempo scelto, il tempo per raggiungere una temperatura obiettivo, oppure kk stessa, adattata a partire da una singola misura.

Come funziona il modello

Ciò che davvero decade non è la temperatura, ma la differenza di temperatura ΔT=T−Tenv\Delta T = T - T_{env}. Sostituendola nell'equazione di velocità si ottiene d(ΔT)/dt=−k ΔTd(\Delta T)/dt = -k\,\Delta T, la stessa forma del decadimento radioattivo o di un condensatore che si scarica. La differenza si riduce quindi di una frazione costante in ogni intervallo di tempo uguale:

ΔT(t)=ΔT0 e−kt,ΔT0=T0−Tenv\Delta T(t) = \Delta T_0\,e^{-k t}, \qquad \Delta T_0 = T_0 - T_{env}

Aggiungendo di nuovo la temperatura ambiente si ottiene T(t)T(t). Poiché decade solo la differenza, il corpo si avvicina sempre a TenvT_{env} senza mai superarla: il caffè si assesta appena sopra la temperatura ambiente e una bevanda fredda si scalda fino a essa, ma non oltre.

Due scale temporali riassumono la curva. La costante di tempo τ=1/k\tau = 1/k è il tempo in cui la differenza scende a circa il 37 % (1/e1/e) del valore iniziale; dopo circa 5τ5\tau il corpo è entro l'1 % dall'ambiente e appare, in pratica, stabilizzato. L'emivita t1/2=ln⁡2/kt_{1/2} = \ln 2 / k è il tempo in cui la differenza si dimezza, ed è la stessa in ogni punto della curva.

Formula

GrandezzaSimboloDefinizione
Temperatura al tempoT(t)T(t)Tenv+(T0−Tenv) e−ktT_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}
Tempo per l'obiettivott−1kln⁡ ⁣(Ttgt−TenvT0−Tenv)-\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{T_{tgt} - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)
Costante di raffreddamentokk−1tln⁡ ⁣(Tm−TenvT0−Tenv)-\dfrac{1}{t}\ln\!\left(\dfrac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)
Costante di tempoτ\tau1/k1 / k
Emivitat1/2t_{1/2}ln⁡2/k\ln 2 / k

Le temperature obiettivo e misurata devono trovarsi tra TenvT_{env} e T0T_0, perché la curva si muove sempre e soltanto da T0T_0 verso TenvT_{env}.

Esempio svolto

Si versa una tazza di caffè a T0=90 ∘CT_0 = 90\,^{\circ}\text{C} in una stanza a Tenv=20 ∘CT_{env} = 20\,^{\circ}\text{C}, con una costante di raffreddamento k=0,05 min−1k = 0{,}05\ \text{min}^{-1}. Qual è la sua temperatura dopo t=10t = 10 minuti?

Passo 1 — Differenza di temperatura iniziale:

ΔT0=T0−Tenv=90−20=70 ∘C\Delta T_0 = T_0 - T_{env} = 90 - 20 = 70\,^{\circ}\text{C}

Passo 2 — Fattore di decadimento:

e−kt=e−0,05×10=e−0,5≈0,6065e^{-k t} = e^{-0{,}05 \times 10} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

Passo 3 — Temperatura dopo 10 minuti:

T=Tenv+ΔT0 e−kt=20+70×0,6065≈62,5 ∘CT = T_{env} + \Delta T_0\,e^{-k t} = 20 + 70 \times 0{,}6065 \approx 62{,}5\,^{\circ}\text{C}

Dopo dieci minuti il caffè è sceso da 90 °C a circa 62,5 °C. La sua costante di tempo è τ=1/0,05=20\tau = 1/0{,}05 = 20 minuti e la sua emivita ln⁡2/0,05≈13,9\ln 2 / 0{,}05 \approx 13{,}9 minuti, quindi ogni 14 minuti la differenza rimanente con la temperatura ambiente si dimezza.

Ricavare la costante di raffreddamento da una misura

La costante di raffreddamento è una proprietà del corpo e del suo ambiente — superficie, materiale e con quanta libertà l'aria vi scorre attorno — e quasi sempre si misura anziché cercarla in tabella. Prendi una lettura di temperatura aggiuntiva a un tempo noto e riscrivi la legge:

k=−1tln⁡ ⁣(Tm−TenvT0−Tenv)k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)

Per il caffè di prima, supponiamo che segni Tm=60 ∘CT_m = 60\,^{\circ}\text{C} dopo 10 minuti. Allora

k=−110ln⁡ ⁣(60−2090−20)=−110ln⁡(0,571)≈0,056 min−1k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{60 - 20}{90 - 20}\right) = -\frac{1}{10}\ln(0{,}571) \approx 0{,}056\ \text{min}^{-1}

Una volta nota kk, ne segue l'intera curva futura — e il tempo per raggiungere qualunque temperatura obiettivo bevibile.

Come si chiude la differenza nel tempo

Tempo trascorsoDifferenza rimanente e−kte^{-kt}Nota
00100%differenza iniziale
τ=1/k\tau = 1/k36,8%una costante di tempo
t1/2=ln⁡2/kt_{1/2} = \ln 2/k50%un'emivita
2τ2\tau13,5%
3τ3\tau5,0%
5τ5\tau0,7%praticamente stabile

Rilevanza pratica

La legge è lo strumento quotidiano per stimare i raffreddamenti. Stabilisce quanto un piatto caldo deve riposare prima di essere servito, guida i programmi di raffreddamento che mantengono sicuri gli alimenti mentre attraversano la zona a rischio, e compare nelle scienze forensi, dove il calo della temperatura corporea dopo la morte fornisce una stima approssimativa del tempo trascorso. Gli ingegneri usano la stessa esponenziale per dimensionare il tempo di assestamento dell'elettronica e verificare che un componente raggiunga una temperatura sicura entro una finestra richiesta.

Limiti

La legge di Newton è un'approssimazione che vale meglio quando il calore esce soprattutto per convezione verso un grande serbatoio stabile e la differenza di temperatura è modesta. Quando un corpo è molto caldo, subentra l'irraggiamento e la perdita di calore segue la legge di Stefan-Boltzmann con la quarta potenza anziché una lineare, così il raffreddamento è più rapido di quanto preveda una sola costante. Il modello presuppone inoltre che il corpo abbia temperatura uniforme e che l'ambiente non si scaldi; un arrosto spesso con il cuore freddo, o una piccola scatola chiusa che si riscalda attorno al corpo, si discostano entrambi dalla curva semplice.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos’è la legge di raffreddamento di Newton?

La legge di raffreddamento di Newton afferma che la velocità con cui un corpo cambia temperatura è proporzionale alla differenza tra la sua temperatura e quella dell’ambiente. In simboli, dT/dt = −k(T − T_env), la cui soluzione è la curva esponenziale T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt).

Poiché il motore del processo è la differenza di temperatura, il raffreddamento è rapido quando il corpo è molto più caldo dell’ambiente e rallenta man mano che la differenza si chiude: ecco perché il caffè si raffredda in fretta all’inizio e poi si assesta appena sopra la temperatura ambiente.

Come si ricava la costante di raffreddamento k?

La costante di raffreddamento è raramente nota in anticipo; si misura. Registra la temperatura iniziale, quella ambiente e una temperatura successiva a un tempo noto, poi isola k nella legge di raffreddamento: k = −ln[(T_m − T_env)/(T₀ − T_env)] / t.

Ad esempio, un caffè a 90 °C in una stanza a 20 °C che scende a 60 °C dopo 10 minuti dà k = −ln[(60 − 20)/(90 − 20)] / 10 min ≈ 0,056 min⁻¹. La modalità «costante di raffreddamento» di questa calcolatrice esegue esattamente questo calcolo.

Quando la legge è una buona approssimazione?

La legge di Newton funziona bene quando il calore esce soprattutto per convezione verso un grande serbatoio la cui temperatura cambia appena, e quando la differenza di temperatura è modesta. Presuppone una sola costante di raffreddamento, temperatura uniforme del corpo e ambiente costante.

È meno accurata quando domina l’irraggiamento — per grandi differenze di temperatura la perdita di calore segue la legge di Stefan-Boltzmann con la quarta potenza anziché una lineare — oppure quando l’ambiente stesso si riscalda in modo apprezzabile, come in un piccolo contenitore chiuso.

La stessa formula descrive anche il riscaldamento?

Sì. La stessa equazione descrive un corpo che si riscalda verso un ambiente più caldo, per esempio una bevanda fredda lasciata sul tavolo. Se la temperatura iniziale è inferiore a quella ambiente, il termine (T₀ − T_env) è negativo, così la curva sale verso il valore ambiente invece di scendere.

In entrambi i casi il corpo si avvicina alla temperatura dell’ambiente senza superarla, e la costante di tempo τ = 1/k descrive quanto rapidamente la differenza si chiude in entrambe le direzioni.

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