Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Legge di Stokes

La legge di Stokes descrive la forza di resistenza che un fluido viscoso esercita su una piccola sfera in moto lento al suo interno. A differenza della resistenza su un'auto o un aereo veloce, questa forza cresce in proporzione diretta alla velocità, perché è dominata dalla viscosità del fluido e non dalla sua inerzia. La legge è alla base dell'analisi di sedimentazione, della scienza degli aerosol, del metodo della sfera cadente per misurare la viscosità e della fisica delle gocce di pioggia e delle particelle che sedimentano.

L'equazione

Per una piccola sfera rigida in moto lento in un fluido newtoniano illimitato, la forza di resistenza è:

$F = 6\pi\, \mu\, r\, v$

dove $F$ è la forza di resistenza, $\mu$ la viscosità dinamica del fluido, $r$ il raggio della sfera e $v$ la sua velocità rispetto al fluido. La forza agisce in verso contrario al moto. Essendo lineare in $v$, raddoppiare la velocità raddoppia la resistenza — un tratto tipico del regime lento dominato dalla viscosità.

Tabella dei simboli

Esempio svolto

Perché la resistenza è lineare nella velocità

Alla scala di tutti i giorni la resistenza cresce con il quadrato della velocità, perché l'oggetto in moto deve spostare il fluido e questo costo inerziale aumenta rapidamente. Per una sfera minuscola e lenta in un fluido viscoso il quadro è diverso: l'inerzia è trascurabile e la resistenza deriva quasi interamente dallo scorrimento viscoso degli strati di fluido attorno alla sfera. Ne risulta una forza che cresce solo linearmente con la velocità. Il confine tra i due regimi è fissato dal numero di Reynolds, che confronta le forze inerziali con quelle viscose. La legge di Stokes vale quando questo numero è molto inferiore a 1.

Sedimentazione e velocità limite

L'uso più comune della legge di Stokes è determinare la velocità con cui una particella sedimenta per gravità in un fluido. Mentre la particella cade, la resistenza aumenta con la velocità finché non bilancia la forza netta verso il basso — il peso meno la spinta di Archimede. A quel punto la particella si muove a una velocità limite (di sedimentazione) costante:

$v_t = \frac{2\, r^2\, (\rho_p - \rho_f)\, g}{9\, \mu}$

dove $\rho_p$ e $\rho_f$ sono le densità della particella e del fluido e $g$ l'accelerazione di gravità. Questa relazione di velocità di sedimentazione serve a classare le particelle nei decantatori, a interpretare i dati di centrifugazione e a stimare quanto a lungo polvere o goccioline restano sospese in aria.

Dove si applica e dove no

La legge di Stokes presuppone un moto strisciante, cioè un numero di Reynolds molto inferiore a 1. La sfera deve essere piccola, rigida e liscia, il fluido newtoniano e incomprimibile, e il flusso stazionario e laminare. Presuppone inoltre che la sfera sia lontana da qualsiasi parete e dalle altre particelle, così che il fluido circostante sia praticamente illimitato.

Quando queste condizioni vengono meno — particelle più grandi, velocità più elevate o sospensioni dense — la legge perde accuratezza. Quando il numero di Reynolds si avvicina a 1, gli effetti inerziali rendono la resistenza reale maggiore di quella prevista dalla legge di Stokes, e servono correzioni come l'approssimazione di Oseen o una curva di resistenza empirica. Ad alti numeri di Reynolds il flusso è dominato dall'inerzia e la legge di resistenza quadratica, $F = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$, subentra del tutto.

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Per verificare se vale l'ipotesi di moto strisciante, calcola il il Calcolatore del Numero di Reynolds della sfera e conferma che sia inferiore a 1. Per trovare la velocità di sedimentazione costante di una particella, quando la resistenza bilancia la gravità, usa la la Calcolatore della velocità terminale. E per il flusso dominato dall'inerzia a velocità maggiori, la la Calcolatore della forza di resistenza aerodinamica è la relazione complementare.