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Generato il: 20 luglio 2026 alle ore 21:34

Calcolatore della legge di Hagen-Poiseuille

Dati di input

Raggio della condotta5 mm
Differenza di pressione10 kPa
Viscosità dinamica1 mPa·s
Lunghezza della condotta1 m

Generato con OneCalc · https://onecalc.app/it/physics/poiseuille-flow

Fisica

Calcolatore della legge di Hagen-Poiseuille

Calcola la portata volumetrica di un fluido viscoso in una condotta rettilinea a sezione circolare con la legge di Hagen-Poiseuille. Inserisci il raggio, la differenza di pressione, la viscosità dinamica e la lunghezza del tubo per ottenere la portata in regime laminare.

Dati di input

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\begin{aligned} Q &= \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L} \\ &= \frac{\pi\, (5\,\text{mm})^4\, (10\,\text{kPa})}{8\, (1\,\text{mPa·s})\, (1\,\text{m})} \\ &= ?\,\text{L/s} \end{aligned}

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La legge di Hagen-Poiseuille

La legge di Hagen-Poiseuille descrive come un fluido viscoso scorre in una condotta stretta. Mette in relazione la portata volumetrica con la pressione che mette in moto il fluido, la resistenza dovuta alla sua viscosità e la geometria della condotta. È una relazione centrale in idraulica, ingegneria chimica, microfluidica e nella fisiologia della circolazione sanguigna.

L'equazione

Per il moto stazionario, laminare e incomprimibile di un fluido newtoniano in una condotta lunga e rettilinea a sezione circolare, la portata volumetrica è:

Q=π r4 ΔP8 μ LQ = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}

dove QQ è la portata, rr il raggio interno, ΔP\Delta P la differenza di pressione tra le estremità, μ\mu la viscosità dinamica e LL la lunghezza della condotta. La portata cresce con la pressione motrice e con la quarta potenza del raggio, e diminuisce all'aumentare della viscosità o della lunghezza.

Tabella dei simboli

GrandezzaSimboloNote
Portata volumetricaQQRisultato, volume nell'unità di tempo
Raggio della condottarrRaggio interno; entra come r4r^4
Differenza di pressioneΔP\Delta PCaduta tra ingresso e uscita
Viscosità dinamicaμ\muResistenza allo scorrimento
Lunghezza della condottaLLLunghezza del tratto rettilineo

Esempio svolto

Acqua a 20 °C scorre in un tubo rettilineo con raggio interno di 5 mm e lunghezza di 1 m. Sul tubo agisce una differenza di pressione di 10 kPa. L'acqua ha una viscosità dinamica di circa 0,001 Pa·s. Quanto vale la portata?

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)Q = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)}

Q=π×6.25×10−10×10,0000.008=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi \times 6.25\times10^{-10} \times 10{,}000}{0.008} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

La portata è di circa 2,454 L/s.

Acqua a 20 °C scorre in un tubo rettilineo con raggio interno di 5 mm e lunghezza di 1 m sotto una differenza di pressione di 10 kPa, con una viscosità di 0,001 Pa·s. Il calcolo si esegue in unità di base del SI:

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

Convertita in unità statunitensi, la portata è di circa 38,9 gal/min.

La dipendenza dalla quarta potenza del raggio

La caratteristica più notevole dell'equazione è che la portata varia con r4r^4. Per questo il raggio è la dimensione più importante della condotta:

  • Raddoppiare il raggio moltiplica la portata per 24=162^4 = 16.
  • Dimezzarlo la riduce a 1/161/16 del valore iniziale.
  • Una riduzione del raggio del 10 % abbassa la portata di circa il 34 %.

Questa sensibilità spiega perché il restringimento di un'arteria ha un effetto così grande sul flusso sanguigno, perché una tubazione leggermente ostruita perde gran parte della sua capacità e perché i canali microfluidici richiedono dimensioni controllate con precisione. Significa anche che la misura del raggio domina l'incertezza di qualsiasi calcolo: un piccolo errore di misura viene amplificato alla quarta potenza.

Campo di validità

L'equazione presuppone un moto laminare — strati ordinati di fluido che scorrono l'uno sull'altro. Che il moto resti laminare dipende dal numero di Reynolds; nel moto in condotta la transizione alla turbolenza inizia intorno a un numero di Reynolds di circa 2300. Oltre tale soglia il mescolamento caotico aumenta la resistenza e la relazione lineare tra pressione e portata viene meno, per cui si usa un modello empirico come l'equazione di Darcy-Weisbach.

Le altre ipotesi sono un fluido newtoniano (viscosità costante), l'incomprimibilità, una sezione circolare costante, l'aderenza alla parete e un profilo di velocità completamente sviluppato. Quest'ultimo richiede che la condotta sia lunga rispetto al diametro, così che gli effetti di imbocco vicino all'ingresso siano trascurabili. Il sangue, in particolare, è non newtoniano, quindi l'equazione fornisce solo una prima approssimazione per il flusso fisiologico.

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Per verificare se l'ipotesi di moto laminare è giustificata, si può calcolare il numero di Reynolds del flusso. Per convertire la viscosità tra unità come poise, centipoise e Pa·s, è utile un convertitore di viscosità. Infine, per mettere in relazione pressione, velocità e quota in un flusso ideale (non viscoso), l'equazione di Bernoulli è la relazione complementare.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è la legge di Hagen-Poiseuille?

La legge di Hagen-Poiseuille fornisce la portata volumetrica di un fluido viscoso in moto laminare in una condotta rettilinea a sezione circolare: Q = πr⁴ΔP / (8μL). Qui Q è la portata, r il raggio interno, ΔP la differenza di pressione che mette in moto il fluido, μ la viscosità dinamica e L la lunghezza della condotta.

Si ricava dalle equazioni di Navier-Stokes per un profilo di velocità parabolico completamente sviluppato e prende il nome da Gotthilf Hagen e Jean Léonard Marie Poiseuille, che la studiarono negli anni 1840.

Quando si applica la legge di Hagen-Poiseuille?

Si applica al moto stazionario, laminare e incomprimibile di un fluido newtoniano in una condotta lunga e rettilinea a sezione circolare costante, con aderenza alla parete e profilo di velocità completamente sviluppato.

Trascura gli effetti di imbocco, quindi la condotta deve essere lunga rispetto al diametro. Il moto deve essere laminare: nelle condotte questo significa in genere un numero di Reynolds inferiore a circa 2300. Fuori da queste condizioni serve un modello corretto o turbolento.

Perché il raggio della condotta è così importante?

La portata varia con la quarta potenza del raggio (r⁴), quindi il raggio è di gran lunga la variabile più influente. Raddoppiare il raggio moltiplica la portata per sedici; dimezzarlo la riduce a un sedicesimo. Questa forte dipendenza spiega perché un lieve restringimento di un vaso sanguigno o di una tubazione riduce drasticamente il flusso, e perché una misura accurata del raggio è essenziale.

Che cosa succede quando il moto diventa turbolento?

La legge di Hagen-Poiseuille è valida solo per il moto laminare. Al crescere della differenza di pressione o del raggio aumenta il numero di Reynolds; oltre circa 2300 in una condotta il moto diventa turbolento e il mescolamento caotico aumenta la resistenza. In questo regime la relazione lineare tra pressione e portata viene meno e si ricorre a correlazioni empiriche come l'equazione di Darcy-Weisbach con un fattore di attrito.

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