Última atualização: 2026-07-01

O que o coeficiente de restituição mede

O coeficiente de restituição $e$ resume em um único número o quanto uma colisão é "saltitante". Ele compara a rapidez com que dois corpos se separam após o impacto com a rapidez com que se aproximavam antes:

$e = \frac{\text{relative speed of separation}}{\text{relative speed of approach}}$

Por ser uma razão entre duas rapidezes, $e$ é adimensional. Em colisões comuns, fica entre 0 e 1:

• $e = 1$ — uma colisão perfeitamente elástica. Os corpos se separam tão rápido quanto se aproximaram e nenhuma energia cinética é perdida.
• $e = 0$ — uma colisão perfeitamente inelástica. Os corpos não se separam, seguem juntos e perdem a maior fração de energia cinética que a conservação da quantidade de movimento permite.

As colisões reais ficam entre esses limites. Esta calculadora obtém $e$ de duas formas: por um ensaio de queda e quique ou diretamente pelas velocidades antes e depois de uma colisão.

Pela altura do quique

A forma mais simples de medir $e$ de uma bola é deixá-la cair sobre um piso duro e fixo e ver a que altura ela quica. O piso quase não se move, então as rapidezes relativas são apenas as próprias rapidezes da bola no instante do contato.

Um corpo solto da altura $h_d$ chega ao piso com rapidez $\sqrt{2 g h_d}$, e quicar até a altura $h_b$ exige uma rapidez de saída $\sqrt{2 g h_b}$. A razão entre elas é o coeficiente de restituição:

$e = \frac{\sqrt{2 g h_b}}{\sqrt{2 g h_d}} = \sqrt{\frac{h_b}{h_d}}$

A aceleração da gravidade se cancela, então só importa a razão das alturas. A altura do quique nunca pode superar a de queda, o que mantém $e$ em 1 ou abaixo.

Pelas velocidades

Numa colisão geral entre dois corpos, usam-se as velocidades ao longo da linha de impacto. Com velocidades de aproximação $u_1$ e $u_2$ e velocidades de separação $v_1'$ e $v_2'$:

$e = \frac{\left|v_2' - v_1'\right|}{\left|u_1 - u_2\right|}$

As velocidades têm sinal. Escolha uma direção como positiva e mantenha esse critério nos quatro valores, de modo que dois corpos que se aproximam de frente tenham sinais opostos. As barras de valor absoluto fazem o resultado depender apenas dos módulos das rapidezes de aproximação e de separação.

Exemplo resolvido: uma bola que quica

Uma bola é solta de $h_d = 1\ \text{m}$ e quica até $h_b = 0,6\ \text{m}$.

$e = \sqrt{\frac{0.6}{1}} = \sqrt{0.6} \approx 0.775$

Um $e$ de cerca de 0,775 significa que cerca de 60 % da energia cinética sobrevive a cada quique, pois a energia varia com o quadrado da rapidez e $e^2 = 0{,}6$. Após o segundo quique, a bola chegaria a cerca de $0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\ \text{m}$, e as alturas de quique continuam a encolher pelo mesmo fator 0,6 a cada vez.

Exemplo resolvido: uma colisão frontal

O corpo 1 se move para a direita a $u_1 = 5\ \text{m/s}$ em direção ao corpo 2 em repouso ($u_2 = 0$). Após o impacto, o corpo 1 quica a $v_1' = -1\ \text{m/s}$ e o corpo 2 segue a $v_2' = 2\ \text{m/s}$.

$e = \frac{\left|2 - (-1)\right|}{\left|5 - 0\right|} = \frac{3}{5} = 0.6$

A rapidez de aproximação era 5 m/s e a de separação é 3 m/s, então a colisão devolve 60 % da rapidez de aproximação.

Valores típicos

As federações esportivas costumam fixar uma faixa permitida de altura de quique para o material oficial, o que equivale a manter o coeficiente de restituição em limites estreitos. Temperatura, rigidez da superfície e rapidez do impacto deslocam $e$, por isso os ensaios de quique são feitos em condições padronizadas.

Relação com as calculadoras de colisão

O coeficiente de restituição liga os modelos perfeitamente elástico e perfeitamente inelástico. Combinado com a conservação da quantidade de movimento, um $e$ conhecido permite prever as duas velocidades finais de uma colisão unidimensional: a equação da quantidade de movimento fixa a soma delas e a de restituição fixa a diferença. É assim que os problemas de impacto entre os dois extremos ideais são resolvidos na prática.