Última atualização: 2026-07-13

A terceira lei de Kepler

A terceira lei de Kepler une as três coisas que descrevem uma órbita: a distância até o corpo que se rodeia, a massa desse corpo central e o tempo de uma volta. Na forma de Newton, ela se escreve $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ — o quadrado do período cresce com o cubo da distância. Esta calculadora reorganiza essa única relação de três maneiras, para achar o período a partir de uma distância e uma massa, recuperar a distância orbital a partir de um período conhecido ou até pesar o corpo central a partir de uma órbita medida.

A fórmula e suas três formas

Aqui $a$ é o semieixo maior (a distância orbital média, e simplesmente o raio numa órbita circular), $M$ é a massa do corpo orbitado e $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ é a constante gravitacional. A massa do corpo que orbita nunca aparece: um grão de poeira e uma lua à mesma distância da mesma estrela levam exatamente o mesmo tempo para dar a volta.

O atalho do sistema solar

A terceira lei de Kepler é tão prática para os planetas graças a uma escolha feliz de unidades. Meça a distância em unidades astronômicas (1 UA é a distância Terra-Sol), a massa em massas solares (1 M☉ é a massa do Sol) e o tempo em anos, e o bloco $4\pi^2/(GM)$ vira $1/M$. A lei fica:

com $T$ em anos, $a$ em UA e $M$ em massas solares. É essa forma que a calculadora usa internamente, e por isso seus valores padrão — a órbita da Terra — dão um resultado redondo.

Exemplo resolvido: a Terra ao redor do Sol

Para a Terra, o semieixo maior é $a = 1\ \text{UA}$ e a massa central $M = 1\ \text{M}_\odot$:

Os mesmos números em unidades SI completas — $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ — postos em $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ dão cerca de $3.156\times10^{7}\ \text{s}$, ou seja, um ano a menos de uma fração ínfima de por cento. A forma em UA apenas esconde a conta.

Exemplo resolvido: os planetas externos

O escalonamento a³ é o motivo de o sistema solar externo se mover tão devagar. Júpiter fica a cerca de $a = 5.20\ \text{UA}$, então

o que combina com os 11,86 anos reais de Júpiter. Netuno, a cerca de 30 UA, precisa de $\sqrt{30^3} \approx 164$ anos para uma única volta ao redor do Sol: um ano netuniano é mais longo do que o tempo em que o planeta é conhecido pela ciência.

Pesar uma estrela

Ao contrário, a terceira lei de Kepler é uma das ferramentas mais importantes da astronomia: ela mede uma massa que você nunca poderá pôr numa balança. Se você observa um companheiro orbitando — um planeta ao redor de uma estrela, uma estrela ao redor de um buraco negro — e mede seu período e semieixo maior, então $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ dá a massa daquilo que é orbitado. Foi assim que se determinaram a massa do Sol, a das estrelas hospedeiras de exoplanetas e a do buraco negro supermassivo no centro da Via Láctea.

Suposições e limites

A lei como usada aqui pressupõe um corpo muito mais massivo que o outro, de modo que o corpo central permanece praticamente fixo enquanto o menor o orbita. Para duas massas comparáveis — uma estrela binária, por exemplo — o $M$ da fórmula é a soma das duas massas, e ambos os corpos orbitam seu centro de massa comum. O resultado também é o valor ideal de dois corpos: ignora o puxão de outros planetas, o leve achatamento dos corpos reais e os efeitos relativísticos, que provocam pequenos e lentos desvios nas órbitas reais ao longo de muito tempo.