Calculadora da lei do resfriamento de Newton

Calcular	Temperatura após um tempo
Temperatura inicial	90 °C
Temperatura ambiente	20 °C
Constante de resfriamento k	0,05 min⁻¹
Temperatura alvo	40 °C
Temperatura medida	60 °C

Calcular

Temperatura após um tempo

Temperatura inicial

90 °C

Temperatura ambiente

20 °C

Constante de resfriamento k

0,05 min⁻¹

Temperatura alvo

40 °C

Temperatura medida

60 °C

Calculadora da lei do resfriamento de Newton

Use a lei do resfriamento de Newton T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt) para descobrir como a temperatura de um corpo se aproxima da do ambiente. Calcule a temperatura após um tempo dado, o tempo para atingir uma temperatura alvo ou a constante de resfriamento k a partir de uma única medida, com constante de tempo, meia-vida e curva de resfriamento.

Última atualização: 2026-07-13

A lei do resfriamento de Newton

A lei do resfriamento de Newton descreve como um corpo quente perde calor para um ambiente mais frio — ou como um corpo frio ganha calor de um mais quente. Sua ideia central é simples: a rapidez do resfriamento é definida por quão longe a temperatura do corpo está da do que o cerca. Uma xícara de café bem quente esfria depressa; a mesma xícara, quando já está apenas um pouco acima da temperatura ambiente, esfria muito mais devagar. Escrita como equação de taxa,

\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_{env})

a diferença de temperatura $(T - T_{env})$ é o motor do processo e $k$ é a constante de resfriamento. Resolver essa equação leva à curva exponencial que esta calculadora usa:

T(t) = T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}

Informe a temperatura inicial $T_0$ , a ambiente $T_{env}$ e a constante de resfriamento $k$ , e a calculadora devolve a temperatura após um tempo escolhido, o tempo para atingir uma temperatura alvo, ou $k$ em si, ajustada a partir de uma única medida.

Como o modelo funciona

O que de fato decai não é a temperatura, mas a diferença de temperatura $\Delta T = T - T_{env}$ . Substituindo-a na equação de taxa, resulta $d(\Delta T)/dt = -k\,\Delta T$ , a mesma forma do decaimento radioativo ou de um capacitor que se descarrega. A diferença, portanto, encolhe por uma fração constante em cada intervalo igual de tempo:

\Delta T(t) = \Delta T_0\,e^{-k t}, \qquad \Delta T_0 = T_0 - T_{env}

Somando de volta a temperatura ambiente, obtém-se $T(t)$ . Como só a diferença decai, o corpo sempre se aproxima de $T_{env}$ e nunca o ultrapassa: o café se assenta logo acima da temperatura ambiente, e uma bebida gelada esquenta até ela, mas não além.

Duas escalas de tempo resumem a curva. A constante de tempo $\tau = 1/k$ é o tempo em que a diferença cai a cerca de 37 % ( $1/e$ ) do valor inicial; após uns $5\tau$ o corpo está a menos de 1 % do ambiente e parece, na prática, estabilizado. A meia-vida $t_{1/2} = \ln 2 / k$ é o tempo em que a diferença se reduz à metade, e é a mesma em todos os pontos da curva.

Fórmula

Grandeza	Símbolo	Definição
Temperatura no tempo	$T(t)$	$T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}$
Tempo até o alvo	$t$	$-\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{T_{tgt} - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)$
Constante de resfriamento	$k$	$-\dfrac{1}{t}\ln\!\left(\dfrac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)$
Constante de tempo	$\tau$	$1 / k$
Meia-vida	$t_{1/2}$	$\ln 2 / k$

As temperaturas alvo e medida devem ficar entre $T_{env}$ e $T_0$ , porque a curva só se move de $T_0$ em direção a $T_{env}$ .

Exemplo resolvido

Serve-se uma xícara de café a $T_0 = 90\,^{\circ}\text{C}$ numa sala a $T_{env} = 20\,^{\circ}\text{C}$ , com constante de resfriamento $k = 0{,}05\ \text{min}^{-1}$ . Qual é sua temperatura após $t = 10$ minutos?

Passo 1 — Diferença de temperatura inicial:

\Delta T_0 = T_0 - T_{env} = 90 - 20 = 70\,^{\circ}\text{C}

Passo 2 — Fator de decaimento:

e^{-k t} = e^{-0{,}05 \times 10} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065

Passo 3 — Temperatura após 10 minutos:

T = T_{env} + \Delta T_0\,e^{-k t} = 20 + 70 \times 0{,}6065 \approx 62{,}5\,^{\circ}\text{C}

Após dez minutos, o café caiu de 90 °C para cerca de 62,5 °C. Sua constante de tempo é $\tau = 1/0{,}05 = 20$ minutos e sua meia-vida $\ln 2 / 0{,}05 \approx 13{,}9$ minutos — a cada 14 minutos, portanto, a diferença restante para a temperatura ambiente cai pela metade.

Encontrar a constante de resfriamento a partir de uma medida

A constante de resfriamento é uma propriedade do corpo e do seu ambiente — superfície, material e com que liberdade o ar circula ao redor — e quase sempre é medida, não consultada em tabela. Tome uma leitura de temperatura adicional em um instante conhecido e reorganize a lei:

k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)

Para o café acima, suponha que ele marque $T_m = 60\,^{\circ}\text{C}$ após 10 minutos. Então

k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{60 - 20}{90 - 20}\right) = -\frac{1}{10}\ln(0{,}571) \approx 0{,}056\ \text{min}^{-1}

Uma vez conhecida $k$ , decorre toda a curva futura — e o tempo para atingir qualquer alvo bebível.

Como a diferença se fecha ao longo do tempo

Tempo decorrido	Diferença restante $e^{-kt}$	Observação
$0$	100%	diferença inicial
$\tau = 1/k$	36,8%	uma constante de tempo
$t_{1/2} = \ln 2/k$	50%	uma meia-vida
$2\tau$	13,5%
$3\tau$	5,0%
$5\tau$	0,7%	praticamente estável

Relevância no mundo real

A lei é a ferramenta cotidiana para estimar resfriamentos. Ela define quanto um prato quente precisa descansar antes de ser servido, orienta os planos de resfriamento que mantêm os alimentos seguros ao atravessar a zona de perigo, e aparece na ciência forense, onde a queda da temperatura corporal após a morte dá uma estimativa aproximada do tempo decorrido. Engenheiros usam a mesma exponencial para dimensionar o tempo de acomodação de eletrônicos e verificar se um componente atinge uma temperatura segura dentro de uma janela exigida.

Limitações

A lei de Newton é uma aproximação que vale melhor quando o calor sai principalmente por convecção para um grande reservatório estável e a diferença de temperatura é moderada. Quando um corpo está muito quente, a radiação assume, e a perda de calor segue a lei de Stefan-Boltzmann, com a quarta potência, em vez de uma linear, de modo que o resfriamento é mais rápido do que uma única constante prevê. O modelo também supõe que o corpo tem temperatura uniforme e que o ambiente não esquenta; um assado grosso com o centro frio, ou uma caixa pequena e fechada que aquece ao redor do corpo, ambos se afastam da curva simples.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a lei do resfriamento de Newton?

A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa com que um corpo muda de temperatura é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente. Em símbolos, dT/dt = −k(T − T_env), cuja solução é a curva exponencial T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt).

Como o motor do processo é a diferença de temperatura, o resfriamento é rápido enquanto o corpo está muito mais quente que o ambiente e desacelera à medida que a diferença se fecha: por isso o café esfria depressa no começo e depois fica logo acima da temperatura ambiente.

Como encontro a constante de resfriamento k?

A constante de resfriamento raramente é conhecida de antemão; ela é medida. Registre a temperatura inicial, a ambiente e uma temperatura posterior em um instante conhecido, e isole k na lei do resfriamento: k = −ln[(T_m − T_env)/(T₀ − T_env)] / t.

Por exemplo, um café a 90 °C numa sala a 20 °C que cai para 60 °C após 10 minutos dá k = −ln[(60 − 20)/(90 − 20)] / 10 min ≈ 0,056 min⁻¹. O modo «constante de resfriamento» desta calculadora faz exatamente essa conta.

Quando a lei é uma boa aproximação?

A lei de Newton funciona bem quando o calor sai principalmente por convecção para um grande reservatório cuja temperatura quase não muda, e quando a diferença de temperatura é moderada. Ela supõe uma única constante de resfriamento, temperatura uniforme do corpo e ambiente constante.

É menos precisa quando a radiação domina — para grandes diferenças de temperatura, a perda de calor segue a lei de Stefan-Boltzmann, com a quarta potência, em vez de uma linear — ou quando o próprio ambiente aquece de forma apreciável, como num recipiente pequeno e fechado.

A mesma fórmula descreve o aquecimento?

Sim. A mesma equação descreve um corpo que aquece em direção a um ambiente mais quente, como uma bebida gelada deixada sobre a mesa. Se a temperatura inicial for menor que a ambiente, o termo (T₀ − T_env) é negativo, de modo que a curva sobe rumo ao valor ambiente em vez de descer.

Em ambos os casos o corpo se aproxima da temperatura do ambiente sem ultrapassá-la, e a constante de tempo τ = 1/k descreve a rapidez com que a diferença se fecha nos dois sentidos.

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