Última atualização: 2026-07-01

A equação de Hagen-Poiseuille

A equação de Hagen-Poiseuille descreve como um fluido viscoso escoa por uma tubulação estreita. Relaciona a vazão volumétrica com a pressão que impulsiona o fluido, a resistência oferecida por sua viscosidade e a geometria da tubulação. É uma relação central na hidráulica, na engenharia química, na microfluídica e na fisiologia da circulação sanguínea.

A equação

Para o escoamento permanente, laminar e incompressível de um fluido newtoniano por uma tubulação longa e reta de seção circular, a vazão volumétrica é:

$Q = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}$

em que $Q$ é a vazão, $r$ o raio interno, $\Delta P$ a diferença de pressão entre as extremidades, $\mu$ a viscosidade dinâmica e $L$ o comprimento da tubulação. A vazão cresce com a pressão motriz e com a quarta potência do raio, e diminui quando a viscosidade ou o comprimento aumentam.

Tabela de símbolos

Exemplo resolvido

A dependência da quarta potência do raio

A característica mais marcante da equação é que a vazão varia com $r^4$. Por isso o raio é a dimensão mais importante da tubulação:

• Dobrar o raio multiplica a vazão por $2^4 = 16$.
• Reduzi-lo à metade deixa a vazão em $1/16$ do valor original.
• Uma redução de 10 % no raio diminui a vazão em cerca de 34 %.

Essa sensibilidade explica por que o estreitamento de uma artéria tem efeito tão grande sobre o fluxo sanguíneo, por que uma tubulação levemente obstruída perde a maior parte de sua capacidade e por que os canais microfluídicos exigem dimensões controladas com precisão. Também significa que a medida do raio domina a incerteza de qualquer cálculo: um pequeno erro de medida é amplificado à quarta potência.

Onde se aplica e onde não

A equação pressupõe escoamento laminar — camadas ordenadas de fluido deslizando umas sobre as outras. Se o escoamento permanece laminar depende do número de Reynolds; no escoamento em tubulações, a transição para a turbulência começa perto de um número de Reynolds de cerca de 2300. Acima disso, a mistura caótica eleva a resistência e a relação linear entre pressão e vazão deixa de valer, de modo que se usa um modelo empírico como a equação de Darcy-Weisbach.

As demais hipóteses são um fluido newtoniano (viscosidade constante), incompressibilidade, seção circular constante, condição de não deslizamento na parede e um perfil de velocidade plenamente desenvolvido. Este último exige que a tubulação seja longa em relação ao diâmetro, para que os efeitos de entrada perto da boca sejam desprezíveis. O sangue, em particular, é não newtoniano, de modo que a equação fornece apenas uma primeira aproximação para o fluxo fisiológico.

Ferramentas relacionadas

Para verificar se a hipótese laminar se justifica, calcule o número de Reynolds do escoamento. Se precisar converter viscosidades entre unidades como poise, centipoise e Pa·s, um conversor de viscosidade resolve. E para relacionar pressão, velocidade e altura em um escoamento ideal (sem viscosidade), a equação de Bernoulli é a relação complementar.