حاسبة المضروب – n!

آخر تحديث: 2026-05-22

تعريف المضروب

المضروب لعدد صحيح غير سالب $n$، ويُرمز له بـ $n!$، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 حتى $n$:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

بعض القيم المهمة:

n	n!
0	1 (بالتعريف)
1	1
5	120
10	3,628,800
20	2,432,902,008,176,640,000

المضروب الصفري: 0! = 1

تنبع هذه القاعدة من العلاقة التكرارية $n! = n \times (n-1)!$: بوضع $n = 1$ نحصل على $1! = 1 \times 0!$، مما يستلزم $0! = 1$. من الناحية المفاهيمية، توجد طريقة واحدة بالضبط لترتيب صفر عناصر، وهي عدم فعل أي شيء. يضمن هذا التعريف صحة صيغ التباديل والتوافيق عند الحالات الحدية.

مدى سرعة نمو المضروب

تنمو قيم المضروب بسرعة تفوق أي دالة أسية. عند $n = 13$ تتجاوز القيمة 6 مليارات ($13! = 6{,}227{,}020{,}800$)، وعند $n = 20$ يبلغ الناتج 19 خانة. ولهذا تقتصر هذه الحاسبة على $n \leq 20$.

صيغة ستيرلينج التقريبية تُعطي تقديراً جيداً للقيم الكبيرة:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

تطبيقات المضروب

عدّ الترتيبات. عدد طرق ترتيب $n$ عنصراً مختلفاً في صف يساوي بالضبط $n!$. مثلاً، يمكن ترتيب 5 كتب على الرف بـ $5! = 120$ طريقة مختلفة.

التباديل والتوافيق. تُبنى كلتا الصيغتين على المضروب:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

الاحتمالات. يظهر المضروب في التوزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون وفي أي حساب للاحتمالات المتقطعة على نتائج مرتبة.

التفاضل والتكامل. تستخدم متسلسلات تايلور المضروب في المقام للتحكم في نمو الحدود المتتالية. متسلسلة الأس هي: $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

ملاحظات عملية

نتائج صحيحة دقيقة. في نطاق $n \leq 20$، تُعيد الحاسبة القيمة الصحيحة الدقيقة دون أي تقريب.

التباديل والتوافيق. تحسب حاسبة التباديل — P(n, r) قيمة $P(n,r)$ مباشرةً، وتحسب حاسبة التوافيق — C(n, r) قيمة $C(n,r)$ مباشرةً — دون الحاجة إلى حساب المضروبات منفردةً.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو المضروب؟

المضروب لعدد صحيح غير سالب n، ويُرمز له بـ n!، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 حتى n. مثال: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. باتفاق، 0! = 1. تتزايد قيم المضروب بسرعة هائلة؛ إذ يتجاوز 20! قيمة 2.4 × 10¹⁸.

لماذا يساوي 0! القيمة 1؟

تنبع هذه القاعدة من العلاقة التكرارية n! = n × (n−1)!: بوضع n = 1 نحصل على 1! = 1 × 0!، مما يستلزم أن 0! = 1. من الناحية المفاهيمية، يوجد طريقة واحدة بالضبط لترتيب صفر عناصر، وهي عدم فعل أي شيء. يضمن هذا التعريف صحة صيغ التباديل والتوافيق عند الحالات الحدية.

ما هي تطبيقات المضروب في الرياضيات؟

يظهر المضروب في التوافيق والتباديل (علم العد)، ونظرية الاحتمالات (المعاملات ذات الحدين)، والتفاضل والتكامل (متسلسلات تايلور مثل eˣ = Σ xⁿ/n!)، ونظرية الأعداد. في كل مرة تحتاج فيها إلى عدد الترتيبات المرتبة لـ n عنصراً مختلفاً، يكون المضروب هو الأداة المناسبة.