احسب التباديل P(n, r): عدد طرق اختيار r عنصر من n وترتيبها بترتيب محدد. يدعم n حتى 20.
المدخلات
التباديل (nPr)
P(n,\, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}
nrP(n,r)
النتائج
عدد الترتيبات المختلفة لـ r عنصر مختار من n: n! / (n − r)!.
P(n, j)0
التبديل
التبديل هو عدد طرق اختيار عنصر من مجموعة مؤلفة من عنصر مختلف وترتيبها بترتيب محدد. الترتيب معتبَر في التبديل، لذا يُعدّ اختيار {أ، ب} مختلفاً عن اختيار {ب، أ}.
P(n,r)=(n−r)!n!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)
مثال محلول
كم عدد الأكواد المؤلفة من 3 أحرف التي يمكن تكوينها من الحروف {أ، ب، ج، د، هـ} دون تكرار؟
P(5,3)=(5−3)!5!=2120=60
تفسير: 5 خيارات للموضع الأول، 4 للموضع الثاني (حرف مستخدم)، 3 للموضع الثالث → .
التبديل والتوفيق
المعيار الفاصل هو اعتبار الترتيب أم إغفاله.
الموقف
الصيغة
السبب
ميداليات (ذهب، فضة، برونز) بين 10 رياضيين
$P(10, 3)$
الميدالية تعتمد على المركز
لجنة من 3 أشخاص من بين 10 مرشحين
$C(10, 3)$
يهم فقط التشكيل لا الترتيب
رمز PIN من 4 أرقام بدون تكرار
$P(10, 4)$
تسلسل الأرقام يحدد الرمز
4 أرقام يانصيب من 1–40
$C(40, 4)$
يهم فقط الأرقام المختارة
للقيم نفسها من و: ، أي أن التباديل دائماً أكبر من أو تساوي التوافيق. لحساب مباشرة استخدم حاسبة التوافيق — C(n, r).
حالات خاصة
$r = 0$: $P(n, 0) = 1$. هناك طريقة واحدة فقط لترتيب صفر عناصر.
: — ترتيب جميع العناصر.
: غير معرّف؛ تعرض الحاسبة رسالة خطأ.
تطبيقات شائعة
ترتيب الفائزين: تحديد المراكز الأولى في المسابقات والسباقات
كلمات المرور والأرقام السرية: تسلسلات لا يتكرر فيها العنصر
جدولة المهام: تخصيص أعمال لفترات زمنية بترتيب معين
خطط الجلوس: توزيع الأشخاص على مقاعد مرقمة
ملاحظات
يُنتج التبديل نتائج كبيرة بسرعة؛ يتجاوز 670 مليار. تُعيد الحاسبة قيماً صحيحة دقيقة ضمن الحد .
الصيغة أعلاه تفترض الاختيار بدون إعادة. إذا سُمح بتكرار العنصر (كرمز PIN الذي يجيز تكرار الرقم)، فإن عدد التسلسلات يكون .
الأسئلة الشائعة (FAQ)
ما هو التبديل (Permutation)؟
التبديل P(n, r) هو عدد الطرق لاختيار r عنصر من مجموعة مؤلفة من n عنصر مختلف وترتيبها بترتيب محدد. بما أن الترتيب مهم، فإن اختيار {أ، ب} يختلف عن اختيار {ب، أ}. الصيغة هي: P(n, r) = n! / (n − r)!.
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
استخدم التبديل عندما يهم الترتيب: مراتب السباق، توزيع الجوائز، رموز السر. استخدم التوفيق عندما يهم فقط المجموعة المختارة دون اعتبار الترتيب: اختيار لجنة، أرقام اليانصيب. للقيم نفسها من n و r: P(n, r) = C(n, r) × r!، أي أن التباديل دائماً أكبر من أو تساوي التوافيق.
كيف يُحسب P(n, r)؟
P(n, r) = n! / (n − r)!. وهو أيضاً حاصل ضرب تنازلي: n × (n−1) × … × (n−r+1) — سلسلة من r عوامل تبدأ من n. مثال: P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60.
