\begin{aligned} b &= y_1 - m x_1 \\ &= (2) - (?)(1) \\ &= ? \end{aligned}
직선의 방정식이란?
좌표 평면 위의 직선은 그 위에 있는 두 점으로 완전히 결정됩니다. P₁ = (x₁, y₁), P₂ = (x₂, y₂)가 주어지면 기울기와 y절편을 구해 세 가지 표준 형식으로 방정식을 나타낼 수 있습니다. 각 형식은 쓰임새가 다릅니다.
세 가지 표준 형식
기울기-절편형: y = mx + b
가장 많이 쓰이는 형식입니다. m은 기울기(y의 변화량 ÷ x의 변화량), b는 y절편(직선이 y축과 만나는 y값)을 나타냅니다.
적합한 상황: 그래프를 그릴 때((0, b)에서 시작해 오른쪽으로 1씩 이동하며 m만큼 올라감), 기울기와 y절편을 한눈에 확인할 때.
점-기울기형: y − y₁ = m(x − x₁)
주어진 점의 좌표를 그대로 대입하는 형식으로, b를 먼저 구하지 않아도 됩니다.
적합한 상황: 한 점과 기울기를 알 때, 또는 다른 형식으로 변환하는 중간 단계.
일반형: Ax + By = C
모든 항을 한쪽으로 모은 형식으로, 좌표가 정수이면 A, B, C도 정수입니다. 관례: A ≥ 0.
적합한 상황: 연립방정식을 가감법으로 풀 때, x절편·y절편을 동시에 구할 때.
특수한 경우
수직선
x₁ = x₂이면 두 점은 수직선 위에 있습니다. 분모 x₂ − x₁ = 0이므로 기울기는 정의되지 않습니다. 방정식은 x = x₁이 됩니다.
수평선
y₁ = y₂이면 직선은 수평입니다. 기울기는 0이고 y절편은 y₁이며, 세 형식 모두 y = y₁으로 단순화됩니다.
형식 간 변환
변환 전
변환 후
방법
점-기울기형
기울기-절편형
괄호 전개 후 y에 대해 정리
기울기-절편형
일반형
mx를 좌변으로 이항, A < 0이면 −1 곱함
일반형
기울기-절편형
y에 대해 풀기: y = (C − Ax) / B
일반형 계수를 정수로 만드는 방법
기울기 m = p/q (기약분수)일 때 y = mx + b 의 양변에 q를 곱합니다:
A = p, B = −q, C = −qb가 모두 정수입니다. 입력 좌표가 정수이면 이 계산기가 자동으로 이 과정을 처리합니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
직선의 방정식 세 가지 형태는 각각 언제 씁니까?
기울기-절편형(y = mx + b)은 기울기와 y절편을 한눈에 파악하거나 그래프를 그릴 때 편리합니다. (0, b)에서 시작해 오른쪽으로 1만큼 이동할 때 m만큼 올라가면 됩니다. 점-기울기형(y − y₁ = m(x − x₁))은 한 점의 좌표와 기울기를 알 때 y절편 계산 없이 바로 방정식을 세울 수 있습니다. 일반형(Ax + By = C)은 연립방정식을 가감법으로 풀거나 x절편·y절편을 동시에 구할 때 유용합니다.
세 가지 형태 사이를 어떻게 변환합니까?
점-기울기형 → 기울기-절편형: 괄호를 전개하고 y를 이항합니다. y − y₁ = m(x − x₁) → y = mx + b (b = y₁ − mx₁). 기울기-절편형 → 일반형: mx를 좌변으로 이항하고, A < 0이면 전체에 −1을 곱합니다. y = mx + b → mx − y = −b. 일반형 → 기울기-절편형: y에 대해 풀면 y = (C − Ax) / B.
두 점의 x좌표가 같으면 어떻게 됩니까?
x₁ = x₂이면 두 점은 수직선 위에 있습니다. 기울기는 x₂ − x₁ = 0으로 나누는 것이므로 정의되지 않습니다. 이때 직선의 방정식은 x = x₁이 됩니다. x₁ = 0이면 y축 자체가 됩니다.
일반형 계수를 정수로 만들려면 어떻게 합니까?
기울기가 m = p/q (기약분수)일 때 y = mx + b 의 양변에 q를 곱합니다. qy = px + qb를 정리하면 px − qy = −qb가 됩니다. A = p, B = −q, C = −qb는 모두 정수입니다. 이 계산기는 입력 좌표가 정수이면 이 과정을 자동으로 적용합니다.
