최종 업데이트: 2026-05-26

정적분의 정의

정적분은 닫힌 구간 $[a, b]$에서 함수와 x축 사이의 부호 있는 넓이를 나타냅니다.

$\int_a^b P(x)\,dx$

'부호 있는 넓이'란, 곡선이 x축 아래에 있는 구간은 음수로 계산됨을 의미합니다. 따라서 곡선이 구간 일부에서 x축 아래로 내려가면 해당 부분의 넓이는 전체 합산에서 빠지게 됩니다. 결과는 함수가 아니라 하나의 수입니다.

미적분학의 기본 정리

정적분 계산을 실용적으로 만드는 핵심 원리는 미적분학의 기본 정리입니다.

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

여기서 $F(x)$는 $P(x)$의 역도함수, 즉 $F'(x) = P(x)$를 만족하는 함수입니다.

무한히 많은 직사각형의 넓이를 더하는 대신, 다음 세 단계만으로 정적분을 구할 수 있습니다.

① 역도함수 $F(x)$를 구합니다.
② $F$를 두 끝점에서 계산합니다.
③ 두 값의 차를 구합니다.

적분의 거듭제곱 법칙

다항식의 경우 각 항의 역도함수는 거듭제곱 법칙으로 구합니다.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

이 법칙을 각 항에 적용하면 다항식을 정확하게 적분할 수 있습니다.

예제 — ∫₀² (3x² − 1) dx:

항	거듭제곱 법칙 적용	역도함수 항
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1_{}$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

역도함수는 $F(x) = x^3 - x$입니다.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

계수 입력 방법

계수는 최고차항부터 상수항 순서로, 쉼표로 구분하여 입력합니다.

다항식	계수 입력
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (상수)	7

입력값의 개수가 다항식의 차수를 결정합니다. 값 4개를 입력하면 3차 다항식이 됩니다.

부호 있는 넓이와 적분 구간 반전

정적분이 '부호 있는 넓이'를 나타낸다는 점에서 두 가지 중요한 결과가 따릅니다.

곡선이 x축 아래에 있을 경우: 해당 부분의 기여는 음수입니다. 예를 들어 $\int_0^1 (-x)\,dx = -\dfrac{1}{2}$이지만, 기하학적 넓이 자체는 $\dfrac{1}{2}$입니다.

$a > b$인 경우: 적분값은 $b$에서 $a$까지 적분한 값의 음수가 됩니다.

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

이는 오류가 아니라 정적분의 기본 성질입니다. 이 계산기는 이 경우를 올바르게 처리합니다. $a = 2, b = 0$으로 입력하면 $a = 0, b = 2$로 적분한 값의 음수를 반환합니다.

적분상수에 대하여

부정적분에서는 $F(x) + C$ 형태로 표현합니다. $C$는 임의의 상수입니다. 그러나 정적분에서는 $C$가 상쇄됩니다.

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

따라서 정적분을 계산할 때 적분상수는 결과에 영향을 주지 않으므로 역도함수 표시에서 생략합니다.

수치 적분법이 필요한 경우

거듭제곱 법칙은 정수 지수 $n \geq 0$인 다항식에만 적용됩니다. 다른 함수 유형에는 수치 적분법이 필요합니다.

함수 유형	적분 방법
$\sin x$, $\cos x$, $e^x$	해석적 역도함수 존재 (정확)
유리함수, 대수함수	부분분수 분해, 치환 적분
닫힌 형태의 역도함수가 없는 함수	심프슨 법칙, 가우스 구적법

피적분함수를 다항식으로 나타낼 수 없는 경우에는 이 계산기를 사용하기 어렵습니다. 수치 적분법이나 컴퓨터 대수 시스템을 활용하시기 바랍니다.

주요 활용 분야

정적분은 이공계 전반에 걸쳐 광범위하게 활용됩니다.

• 물리학: 속도로부터 변위 계산 ($\int v\,dt$), 힘이 한 일 ($\int F\,dx$)
• 경제학: 수요곡선과 가격 수준 사이의 소비자 잉여 계산
• 확률론: 연속 확률변수가 구간 $[a, b]$에 속할 확률 ($\int_a^b f(x)\,dx$, $f$는 확률밀도함수)
• 기하학: 두 곡선 사이의 넓이, 회전체의 부피

자주 묻는 질문 (FAQ)

다항식이 아닌 함수도 계산할 수 있습니까?

이 계산기는 다항식 P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ 형태의 함수만 지원합니다. 각 항에 거듭제곱 법칙을 적용하여 역도함수를 정확하게 구하므로 근사 오차가 없습니다. sin x, eˣ, ln x 등 다항식이 아닌 함수를 적분하려면 심프슨 법칙이나 가우스 구적법 같은 수치 적분법을 사용해야 합니다.

하한이 상한보다 클 경우(a > b) 어떻게 됩니까?

계산기는 부호 있는 넓이를 올바르게 계산합니다. 정적분의 성질에 따라 ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx이므로, a > b이면 결과는 b에서 a까지 적분한 값의 음수가 됩니다. 이는 오류가 아니라 정적분의 기본 성질입니다.

역도함수란 무엇이며 왜 필요합니까?

P(x)의 역도함수 F(x)는 F′(x) = P(x)를 만족하는 함수입니다. 단항식 aₙxⁿ의 경우 거듭제곱 법칙에 의해 역도함수는 aₙxⁿ⁺¹/(n+1)입니다. 다항식은 각 항에 이 법칙을 적용한 후 합산하여 역도함수를 구합니다. 미적분학의 기본 정리에 따라 ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a)가 성립하여, 적분 문제를 단순한 대입 계산으로 해결할 수 있습니다.

적분상수가 표시되지 않는 이유는 무엇입니까?

정적분을 계산할 때 적분상수 C는 서로 상쇄됩니다. [F(x) + C]를 a부터 b까지 계산하면 (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a)가 되어 C가 결과에 영향을 주지 않습니다. 따라서 관례적으로 적분상수를 생략합니다. 적분상수는 부정적분에서 역도함수의 집합 F(x) + C를 표현할 때만 필요합니다.