최종 업데이트: 2026-07-02

정의

파스칼의 삼각형은 각 원소가 이항계수인 삼각형 모양의 수 배열입니다. 꼭대기는 하나의 $1$(행 $0$)이고, 이후 각 행은 $1$로 시작해 $1$로 끝납니다. 행 $n$에는 다음 계수가 놓입니다.

이 수들은 정확히 $(a + b)^n$을 전개할 때 나타나는 수이며, 그래서 이 삼각형은 조합론과 대수가 만나는 지점에 자리합니다.

구성 방법

내부의 각 원소는 바로 위에 있는 두 원소의 합입니다. 이것이 파스칼의 규칙입니다.

양쪽 바깥 대각선은 항상 $1$이므로(아무것도 고르지 않거나 전부 고르는 방법이 각각 한 가지이므로 $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$), 꼭대기에서 시작해 덧셈만으로 삼각형 전체를 만들 수 있습니다.

      1
     1 1
    1 2 1
   1 3 3 1
  1 4 6 4 1

계산 예시

$6$개의 행을 만들고 맨 아래 행에서 $k = 2$열의 값을 읽어 봅시다. $N = 6$일 때 맨 아래 행의 행 번호는 $N - 1 = 5$입니다.

$k = 2$의 값은 이항계수 $\binom{5}{2}$입니다.

같은 값을 위 행($1, 4, 6, 4, 1$)을 이용한 파스칼의 규칙으로도 얻을 수 있습니다.

행의 합

행 $n$의 원소들은 항상 2의 거듭제곱으로 합해집니다.

이는 이항정리에서 $a = b = 1$로 두면 바로 나옵니다. $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$입니다. 위 행에서는 $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$이며, 행을 올바르게 옮겨 적었는지 빠르게 확인할 수 있습니다.

규칙성

이 삼각형에는 잘 알려진 수열이 여럿 숨어 있습니다. 가장 바깥 대각선은 모두 $1$이고, 그다음은 자연수 $1, 2, 3, 4, \ldots$를 세며, 세 번째는 삼각수 $1, 3, 6, 10, \ldots$을 줍니다. 완만한 대각선 방향으로 더하면 피보나치 수열이 나타납니다. 또한 각 행은 대칭입니다.

그래서 왼쪽에서 읽어도 오른쪽에서 읽어도 같습니다. 어떤 $k$개를 고르는 것은 나머지 $n - k$개를 남기는 것과 같기 때문입니다.