기하평균 계산기
입력
| 양수 값 | 2, 8, 32 |
|---|
결과
| 기하평균 | 8 |
|---|---|
| 산술평균 | 14 |
| 전체 곱 | 512 |
| 값의 개수 | 3 |
기하평균 계산기
양수 값 집합의 기하평균, 산술평균, 전체 곱을 계산합니다. 쉼표로 구분된 값을 입력하여 두 평균을 비교하십시오.
입력
결과
세부 정보
기하평균이란
기하평균(幾何平均)은 n개의 양수를 모두 곱한 값의 n제곱근입니다. 값 x₁, x₂, …, xₙ에 대해 기하평균 G는 다음과 같이 정의됩니다.
G=(x1×x2×⋯×xn)1/n수치 계산에서는 대수를 이용한 동치 표현이 일반적으로 사용됩니다.
G=exp(nlnx1+lnx2+⋯+lnxn)두 식은 수학적으로 동일하지만, 대수 변환을 이용하면 값의 수가 많거나 값이 매우 클 때 발생하는 부동소수점 오버플로를 방지할 수 있습니다.
계산 예시
연간 투자 수익률이 세 해 동안 각각 20%, -10%, 15%라고 가정합니다. 수익률을 성장 배율로 변환하면 1.20, 0.90, 1.15입니다.
- 전체 곱: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.2420
- 기하평균: 1.2420^(1/3) ≈ 1.0754 → 기간당 약 7.54%의 등가 수익률
- 산술평균: (1.20 + 0.90 + 1.15) / 3 ≈ 1.0833 → 기간당 약 8.33%
산술평균은 변동하는 수익률 사이의 복리 효과를 무시하므로 실제 성과를 과대평가합니다. 기하평균은 3년 후 실제 잔액과 정확히 일치하는 등가 성장률을 산출합니다. 1,000만 원을 투자했을 때 실제 잔액은 1,000 × 1.2420 ≈ 1,242만 원이며, 기간당 7.54% 성장률을 복리로 3년 적용한 결과와 동일합니다.
기하평균의 활용 분야
기하평균은 값이 덧셈이 아닌 곱셈으로 결합되는 데이터에 적합한 대푯값입니다.
투자 수익률 및 성장률. 수익률은 이전 기간의 잔액에 곱해지므로 복리 구조를 갖습니다. 여러 기간의 성장 배율에 대한 기하평균이 바로 연평균 성장률(CAGR)의 계산 기반입니다.
가격 지수와 비율. 기준 단위가 서로 다른 범주에 걸쳐 비율이나 지수를 평균할 때, 기하평균은 절댓값이 큰 항목이 결과를 지배하지 않도록 각 항목에 동일한 곱셈 구조를 부여합니다.
로그정규 분포 데이터. 세균 수, 소득 분포, 지진 규모처럼 여러 자릿수에 걸쳐 분포하는 데이터는 로그정규 분포를 따르는 경우가 많습니다. 이때 기하평균은 로그 변환된 분포의 중앙값에 해당하므로 분포의 중심을 보다 잘 나타냅니다.
AM-GM 부등식
양수 목록에 대해 산술평균은 항상 기하평균 이상이며, 모든 값이 동일한 경우에만 등호가 성립합니다.
nx1+x2+⋯+xn≥(x1×x2×⋯×xn)1/n두 평균의 차이는 데이터의 분산이 클수록 커집니다. 이 계산기는 기하평균과 산술평균을 모두 표시하므로 입력값을 바꾸면서 부등식을 직접 확인할 수 있습니다.
AM-GM 부등식은 수학 전반에 걸쳐 다양하게 응용됩니다. 기하학적 해석 중 하나로, 둘레가 고정된 직사각형 가운데 넓이가 최대인 것은 정사각형입니다. 두 변의 길이가 같을 때 기하평균과 산술평균이 일치하며, 넓이(두 변의 곱의 제곱근)가 최대가 됩니다.
대수 변환을 이용한 수치 안정성
값의 개수가 많거나 각 값이 매우 크면 전체 곱이 부동소수점 표현 범위를 초과할 수 있습니다. 대수 변환을 이용하면 이 문제를 피할 수 있습니다.
G=exp(n1i=1∑nlnxi)곱셈을 덧셈으로 변환함으로써 중간 계산값이 수치적으로 안전한 범위 내에 머뭅니다. 이 계산기도 동일한 방식을 사용합니다.
다른 평균과의 관계
기하평균은 피타고라스 평균 계열 중 하나입니다.
- 산술평균 (AM): 편차 제곱합을 최소화합니다. 이상값에 민감합니다.
- 기하평균 (GM): 로그 공간에서의 편차 제곱합을 최소화합니다. 곱셈 구조를 갖는 데이터에 적합합니다.
- 조화평균 (HM): 역수의 산술평균의 역수입니다. 속도나 비율처럼 역수가 자연스러운 양에 적합합니다.
양수 데이터에 대해서는 항상 HM ≤ GM ≤ AM이 성립합니다. 이 계산기는 GM과 AM을 모두 표시하여 두 값을 직접 비교할 수 있도록 합니다.
관련 계산기
- 평균, 중앙값, 최빈값 계산기으로 — 산술평균, 중앙값, 최빈값, 범위 계산
- 가중 평균 계산기으로 — 가중치를 적용한 평균 계산
- 분산·표준편차 계산기으로 — 데이터의 분산 및 표준편차 계산
- 기술 통계 계산기으로 — 왜도·첨도를 포함한 기술통계 전체 요약
자주 묻는 질문 (FAQ)
기하평균과 산술평균 중 어느 것을 사용해야 합니까?
값들이 덧셈이 아닌 곱셈으로 결합될 때는 기하평균을 사용합니다. 투자 수익률, 성장률, 비율이 대표적인 사례입니다. 예를 들어 어떤 투자가 1년 차에 50% 상승하고 2년 차에 33% 하락했다면, 수익률의 산술평균(+8.5%)은 실제 성과를 과대평가합니다. 기하평균은 같은 누적 결과를 내는 등가 연간 수익률(0%)을 정확히 계산합니다.
일반적인 기준으로, 기온·길이·시험 점수처럼 덧셈으로 다루는 데이터에는 산술평균을, 성장 배율·가격 지수·비율처럼 곱셈으로 다루는 데이터에는 기하평균을 사용합니다.
기하평균 계산에서 모든 입력값이 양수여야 하는 이유는 무엇입니까?
기하평균은 n개 값의 곱의 n제곱근으로 정의됩니다. 값 중 하나라도 0이면 전체 곱이 0이 되어 나머지 값과 관계없이 기하평균도 0이 됩니다. 음수 값이 포함되면, 짝수 개의 음수가 곱해질 때 결과가 양수가 될 수 있지만 이는 데이터의 중심값으로서 의미 있는 해석이 불가능합니다. 홀수 개의 음수가 포함되면 음수의 n제곱근이 발생하여 실수 범위에서 정의되지 않습니다.
실제로 기하평균은 가격, 길이, 인구 규모, 성장 배율처럼 본질적으로 양수인 값들에 적용됩니다.
기하평균과 복리 성장은 어떤 관계입니까?
일련의 성장 배율에 대한 기하평균은 매 기간 동일하게 적용할 때 변동하는 배율들과 동일한 최종값을 산출하는 등가 상수 배율입니다. n기간 동안의 성장 배율이 r₁, r₂, …, rₙ이라면, 최종값은 초기값에 r₁ × r₂ × … × rₙ을 곱한 값과 같습니다. 기하평균 G = (r₁ × r₂ × … × rₙ)^(1/n)이 바로 이 등가 기간별 상수 배율입니다.
예를 들어 성장 배율이 1.20, 0.90, 1.15인 경우 기하평균은 약 1.082로, 기간당 약 8.2%의 등가 일정 성장률을 의미합니다.
AM-GM 부등식이란 무엇입니까?
AM-GM 부등식(산술평균-기하평균 부등식)은 양수 목록에 대해 산술평균이 항상 기하평균 이상이며, 모든 값이 동일한 경우에만 등호가 성립한다는 정리입니다.
수식으로 표현하면: (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n ≥ (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)
두 평균의 차이는 데이터의 분산이 클수록 커집니다. 이 계산기는 두 평균을 모두 표시하므로 부등식을 직접 확인할 수 있습니다. AM-GM 부등식은 최적화, 기하학, 금융 등 다양한 분야에 응용됩니다.