최종 업데이트: 2026-07-01

이 계산기가 하는 일

이 계산기는 2×2 행렬의 역행렬을 구합니다. A = [[a, b], [c, d]]의 네 성분을 입력하면 행렬식과 A⁻¹의 네 성분을 단계별 유도와 함께 보여 줍니다. 역행렬이 존재하지 않는 경우에는 의미 없는 숫자를 출력하는 대신 그 사실을 알려 줍니다.

행렬 A의 역행렬은 $A^{-1}$로 쓰며, 관계식 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$(여기서 $I$는 단위행렬)로 정의됩니다.

2×2 역행렬 공식

2×2 행렬의 역행렬은 수반행렬(adjugate) 을 행렬식으로 나누어 얻습니다.

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

행렬 부분은 쉽게 외울 수 있습니다. 주대각 성분($a$와 $d$)을 서로 바꾸고, 부대각 성분($b$와 $c$)의 부호를 반대로 한 다음, 전체를 행렬식 $ad - bc$로 나눕니다.

행렬식을 먼저 계산한다

행렬식 $\det A = ad - bc$가 역행렬의 존재 여부를 결정합니다. 0이 아니면 위 공식이 유일한 역행렬을 줍니다. 0이면 그 행렬은 특이행렬이며 역행렬이 없습니다. 곱해서 단위행렬로 되돌릴 수 있는 행렬이 존재하지 않기 때문입니다.

풀이 예시

행렬 [[4, 3], [6, 3]]을 생각해 봅시다.

먼저 행렬식:

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

행렬식이 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다. 공식을 적용하면,

$$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix}$$

답 확인하기

원래 행렬에 역행렬을 곱해 단위행렬이 나오는지 확인하는 것이 좋은 습관입니다.

$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

곱이 단위행렬이 되어 역행렬이 올바름을 확인할 수 있습니다. 마지막 자리의 미세한 차이는 표시된 성분을 반올림한 데서 비롯될 뿐입니다.

역행렬이 존재하지 않을 때

2×2 행렬은 $ad - bc = 0$일 때 특이행렬입니다. 기하적으로는 두 열벡터가 같은 직선 위에 놓여, 변환이 평면을 직선으로 납작하게 만들어 정보가 사라지므로 되돌릴 수 없습니다. 예를 들어 [[2, 4], [1, 2]]는 행렬식이 $(2)(2) - (4)(1) = 0$이므로 역행렬이 없습니다.

역행렬로 Ax = b 풀기

역행렬의 주요 용도 중 하나는 연립일차방정식을 푸는 것입니다. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$이고 $A$가 가역이면, 양변에 $A^{-1}$를 곱하여

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

를 얻습니다. 2×2 연립방정식에서는 역행렬을 알면 빠르게 해를 구할 수 있습니다. 계수행렬이 특이하면 그 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많습니다.

유용한 성질

• $(A^{-1})^{-1} = A$ — 두 번 역을 취하면 원래 행렬로 돌아옵니다.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ — 곱의 역행렬은 순서가 뒤바뀝니다.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ — 역행렬의 행렬식은 원래 행렬식의 역수입니다.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ — 전치와 역행렬은 교환 가능합니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

역행렬이란 무엇인가요?

정방행렬 A의 역행렬 A⁻¹은 A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I(I는 단위행렬)를 만족하는 행렬입니다. 역행렬을 곱하면 A를 곱한 효과가 상쇄되므로, 수에서 나눗셈에 해당하는 역할을 합니다.

2×2 행렬에 역행렬이 없는 경우는 언제인가요?

2×2 행렬은 행렬식 ad − bc가 정확히 0일 때 역행렬을 갖지 않습니다. 이런 행렬을 특이행렬이라고 하며, 행(또는 열)이 일차종속이고 공식에서 0으로 나누게 되어 그 변환을 되돌릴 수 있는 행렬이 존재하지 않습니다.

2×2 행렬의 역행렬 공식은 무엇인가요?

A = [[a, b], [c, d]]의 역행렬은 A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]입니다. 말로 하면, 주대각의 두 성분을 서로 바꾸고, 부대각의 두 성분의 부호를 반대로 한 뒤, 각 성분을 행렬식 ad − bc로 나눕니다.

구한 역행렬이 맞는지 어떻게 확인하나요?

원래 행렬과 역행렬을 곱해 보세요. 그 곱이 2×2 단위행렬 [[1, 0], [0, 1]]이면 역행렬이 올바른 것입니다. 표시된 소수점 반올림으로 인한 작은 차이는 정상이며, 행렬식이 0이 아니면 정확한 곱은 항상 단위행렬이 됩니다.