최종 업데이트: 2026-05-20

활꼴의 정의

활꼴은 현(직선)과 그 현이 만드는 호 사이에 둘러싸인 영역입니다. 반지름과 중심각을 입력하면 현의 길이, 화살(높이), 호의 길이, 활꼴 넓이를 계산합니다.

부채꼴과 활꼴

원을 자르는 방법 중 대표적인 두 가지가 있습니다.

• 부채꼴 — 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 "파이 조각" 형태의 영역. 원의 중심에서 잘라낸 쐐기 모양입니다.
• 활꼴 — 현 하나와 그 현이 만드는 호 사이의 영역. 중심을 지나지 않고 원을 가로질러 잘라낸 모양입니다.

현 하나는 항상 두 개의 활꼴을 만듭니다. 중심각 θ < π일 때 작은 쪽을 소활꼴, 큰 쪽을 대활꼴이라고 합니다. θ = π이면 현이 지름을 지나며 두 활꼴은 모두 반원이 됩니다.

화살(矢)

화살은 현의 중점에서 호의 중점까지의 수직 거리, 즉 활꼴의 높이입니다. 라틴어로는 sagitta(화살)라고 하며, 활시위와 활대의 관계에서 이름이 유래했습니다.

반지름 r, 중심각 θ(라디안)일 때:

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

θ = π(반원)일 때 화살은 반지름과 같아집니다. 현이 지름과 일치하므로 호의 중점이 원의 반대편 끝에 위치하기 때문입니다. θ가 매우 작을수록 화살은 0에 가까워지고, θ = 2π이면 화살은 2r(전체 지름)에 가까워집니다.

공식 정리

아래 공식은 모두 θ를 라디안으로 사용합니다. 계산기는 도(°), 그레이디언 등 다른 단위를 자동으로 변환합니다.

항목	공식
현의 길이	$c = 2r\sin(\theta/2)$
화살(높이)	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
호의 길이	$l = r\theta$
활꼴 넓이	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

활꼴 넓이 공식 유도

활꼴은 부채꼴에서 두 반지름과 현으로 이루어진 이등변삼각형을 뺀 영역입니다.

• 부채꼴 넓이 = ½r²θ
• 삼각형 넓이 = ½r²sin θ (밑변 = 현 = 2r sin(θ/2), 높이 = r cos(θ/2), 두 값을 곱하면 r² sin(θ/2)cos(θ/2) = ½r²sin θ)
• 활꼴 넓이 = 부채꼴 − 삼각형 = ½r²θ − ½r²sin θ = ½r²(θ − sin θ)

계산 예제

반지름 r = 10 m인 원에서 중심각 **θ = 90°**인 활꼴의 각 값을 구하세요.

라디안으로 변환: θ = π/2 ≈ 1.5708 rad

• 현의 길이 = 2 × 10 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14 m
• 화살 = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0.2929 ≈ 2.93 m
• 호의 길이 = 10 × π/2 ≈ 15.71 m
• 활꼴 넓이 = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0.5708 ≈ 28.54 m²

참고로 원의 전체 넓이는 π × 100 ≈ 314.16 m²이므로, 이 90° 활꼴은 원 전체의 약 9.1%에 해당합니다.