생성일: 2026년 6월 13일 오후 06:02

포아송 분포 계산

입력

발생률3
사건 수2

그래프

확률 질량 0

OneCalc로 생성 · https://onecalc.app/ko/math/poisson-distribution

수학

포아송 분포 계산

발생률 λ와 사건 수 k를 입력하여 P(X=k), P(X≤k), P(X≥k)를 계산합니다. 평균과 분산의 유도 과정 및 분포 그래프를 함께 제공합니다.

입력

매개변수

결과

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세부 정보

확률 유도

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

확률 분포

확률 질량 0

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포아송 분포는 고정된 시간 또는 공간 구간에서 독립적인 사건이 일정한 평균 발생률로 나타날 때 그 횟수를 기술하는 이산 확률 분포입니다. 통계학에서 가장 널리 활용되는 분포 중 하나로, 대기행렬 이론, 신뢰성 공학, 역학, 금융 수학 등 다양한 분야에서 응용됩니다.

확률 질량 함수

발생률 λ > 0과 음이 아닌 정수 k가 주어졌을 때 확률 질량 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

여기서 e는 자연상수(≈ 2.71828)이고 k!는 k의 계승입니다.

누적 분포 함수는 확률 질량 함수를 0부터 k까지 합산하여 구합니다.

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

「k번 이상」의 확률은 다음 항등식으로 계산합니다.

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

평균과 분산

포아송 분포의 가장 두드러진 성질은 평균과 분산이 모두 λ와 같다는 점입니다.

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

따라서 표준편차는 √λ이고 변동계수는 1/√λ로, λ가 커질수록 감소합니다.

계산 예시

한 편의점에서 오전 시간대에 평균 5명의 고객이 분당 방문합니다(λ = 5). 다음 1분 동안 정확히 3명이 방문할 확률을 구합니다.

P(X=3)=e−5⋅533!=e−5⋅1256≈0.1404P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \cdot 125}{6} \approx 0.1404

확률은 약 **14.0 %**입니다. 3명 이하가 방문할 확률:

P(X≤3)=∑i=03e−5⋅5ii!≈0.2650P(X \leq 3) = \sum_{i=0}^{3} \frac{e^{-5} \cdot 5^i}{i!} \approx 0.2650

3명 이상이 방문할 확률:

P(X≥3)=1−P(X≤2)≈0.8753P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 0.8753

이항 분포로부터의 유도

이항 분포 Binomial(n, p)에서 n → ∞, p → 0이 되면서 np = λ가 일정하게 유지되면 그 극한이 포아송 분포입니다.

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

주요 유도 단계는 다음과 같습니다.

  • 이항 계수 n!/(k!(n−k)!)이 n^k/k!로 수렴합니다.
  • p^k = (λ/n)^k은 λ^k/n^k을 기여하며 n^k과 상쇄됩니다.
  • n → ∞일 때 (1 − λ/n)^n이 e^−λ로 수렴합니다.

평균과 분산이 모두 λ인 이유

이항 분포에서 평균 = np = λ이고 분산 = np(1−p)입니다. p → 0이면 (1−p) → 1이 되어 분산 역시 np = λ로 수렴합니다. 이 「평균 = 분산 = λ」 등식이 포아송 분포의 정의적 특성입니다. 실측 데이터에서 분산이 평균보다 현저히 클 경우(과산포)에는 음이항 분포 또는 영팽창 모형을 검토하시기 바랍니다.

수치 계산

k가 크면 λ^k와 k!을 각각 계산할 때 수치 오버플로가 발생할 수 있습니다. 로그 형태의 확률 질량 함수를 사용하면 안정적으로 계산할 수 있습니다.

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

log k!는 log 2 + log 3 + … + log k로 순차적으로 누산한 후 마지막에 지수 변환합니다. 이 방법으로 k가 수백 단위까지도 정확하게 계산됩니다.

다른 분포와의 관계

  • 이항 분포: n ≥ 20이고 p ≤ 0.05이면(또는 n ≥ 100이고 np ≤ 10이면) 포아송 근사가 유효합니다.
  • 지수 분포: 포아송 과정에서 연속된 두 사건 사이의 대기 시간은 모수 λ인 지수 분포를 따릅니다. 평균 대기 시간은 1/λ입니다.
  • 정규 분포: λ가 충분히 크면(대략 λ ≥ 30) (X − λ)/√λ는 표준 정규 분포에 근사합니다.
  • 기하 분포: 독립적인 베르누이 시행에서 첫 번째 성공까지의 시행 횟수를 모형화하며, 연속형 대응물인 지수 분포는 포아송 과정의 대기 시간과 이론적으로 연결됩니다.

주요 응용 분야

  • 통신 및 네트워크: 라우터의 패킷 도착률 분석; M/M/1 대기 행렬 모형은 포아송 도착을 가정합니다.
  • 신뢰성 공학: 일정한 고장률 하에서 특정 구간 내 부품 고장 건수 추정.
  • 역학: 일정한 발생률을 가정하여 특정 지역의 주간 신규 환자 수 모형화.
  • 보험 및 리스크 관리: 보험 청구 빈도 추정과 희귀 사건에 대한 보험료 산정.
  • 물리학: 광자 검출기의 광자 수 계측 또는 방사성 붕괴 횟수 계산(각 핵은 단위 시간당 일정 확률로 독립적으로 붕괴).

자주 묻는 질문 (FAQ)

포아송 분포는 언제 사용합니까?

고정된 시간 또는 공간 구간에서 독립적인 사건의 발생 횟수를 모형화할 때 사용합니다. 적용 조건은 세 가지입니다. 사건이 서로 독립적으로 발생해야 하고, 평균 발생률 λ가 일정해야 하며, 두 사건이 정확히 같은 순간에 발생할 수 없어야 합니다. 대표적인 예로는 콜센터의 시간당 수신 전화 건수, 초당 방사성 붕괴 횟수, 페이지당 오탈자 수 등이 있습니다.

λ(람다)는 무엇을 의미합니까?

λ는 선택한 구간에서 기대되는 평균 사건 발생 횟수입니다. 서버가 분당 평균 5건의 요청을 받는다면 λ = 5입니다. 구간은 초, 미터, 페이지 등 어떤 단위로도 설정할 수 있으며, λ는 구간 길이에 비례하여 조정합니다. 30초 구간이라면 λ = 2.5이고, 2분 구간이라면 λ = 10입니다.

포아송 분포와 이항 분포는 어떤 관계입니까?

시행 횟수 n → ∞이고 성공 확률 p → 0이 되면서 np = λ가 일정하게 유지될 때, 이항 분포의 극한이 포아송 분포입니다. 실무에서는 n ≥ 20이고 p ≤ 0.05인 경우(또는 n ≥ 100이고 np ≤ 10인 경우)에 포아송 근사가 유효합니다. 계산이 복잡한 이항 공식 대신 더 간단한 e^−λ λ^k / k!을 사용할 수 있습니다.

평균과 분산이 모두 λ인 이유는 무엇입니까?

이 등식은 포아송 분포의 본질적인 성질로, 이항 분포의 극한에서 도출됩니다. 이항 분포에서 평균 = np = λ이고 분산 = np(1−p)인데, p → 0이면 (1−p) → 1이 되어 분산도 λ로 수렴합니다. 이로부터 표준편차 = √λ, 변동계수 = 1/√λ가 얻어집니다. 실측 데이터에서 분산이 평균보다 훨씬 크다면(과산포), 음이항 분포 모형을 검토하시기 바랍니다.

다음 추천 계산기

이항 확률 계산기

시행 횟수, 성공 횟수, 성공 확률을 입력하면 P(X=k), P(X≤k), P(X≥k)를 계산합니다. 동전 던지기, 합격률 분석 등 이진 시행에 활용할 수 있습니다.

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기하분포 계산기

성공 확률과 시행 번호를 입력하면 P(X=k), P(X≤k), 평균, 분산을 계산합니다. 확률질량함수와 누적분포함수를 도표로 확인할 수 있습니다.

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