최종 업데이트: 2026-05-18

구의 정의

구(球)는 공간상의 한 점(중심)에서 일정한 거리(반지름 r) 내에 있는 모든 점들의 집합입니다. 완전한 대칭성을 지니며, 스포츠 공·지구본·저장 탱크·행성 등 다양한 형태에서 나타납니다. 반지름 하나로 부피, 겉넓이, 지름을 모두 계산할 수 있습니다.

공식

반지름이 r인 구에 대해:

항목	공식
부피	V = (4/3)πr³
겉넓이	A = 4πr²
지름	d = 2r

(4/3)π의 유래

기원전 약 250년, 아르키메데스는 구가 동일한 반지름과 높이 2r을 가진 원기둥 부피의 정확히 2/3임을 증명했습니다. 원기둥의 부피가 2πr³이므로, 구의 부피는 (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³이 됩니다.

현대 적분으로도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 구를 원형 단면으로 슬라이스하여 적분하면:

V = ∫₋ᵣʳ π(r² − x²) dx = (4/3)πr³

반지름 변화에 따른 부피 비율

부피는 r³에 비례하므로 반지름을 두 배로 늘리면 부피는 8배가 됩니다.

반지름 배수	부피 배수	겉넓이 배수
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

농구공(r ≈ 12 cm)은 테니스 공(r ≈ 6 cm)보다 약 8배 많은 공기를 담을 수 있습니다. 눈으로 보면 두 배 정도 커 보이지만 실제 용량 차이는 훨씬 큽니다.

계산 예시

예시 1 — 축구공

공식 축구공의 둘레는 약 68.5 cm이므로 r = 68.5 / (2π) ≈ 10.9 cm.

부피: V = (4/3) × π × (0.109)³ ≈ 0.00542 m³ ≈ 5.42리터 겉넓이: A = 4 × π × (0.109)² ≈ 0.149 m² ≈ 1490 cm²

예시 2 — 구형 탱크

반지름 2 m인 구형 물탱크의 용량:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33.51 m³ ≈ 33,510리터

겉넓이 A = 4π × 4 ≈ 50.27 m²는 도장이나 단열재에 필요한 면적을 알려줍니다.

예시 3 — 부피에서 반지름 구하기

부피가 정확히 1 m³인 구의 반지름:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m (약 62 cm)

자주 묻는 질문 (FAQ)

구의 부피 공식은 무엇입니까?

구의 부피는 V = (4/3)πr³입니다(r: 반지름). 예를 들어 r = 5 cm인 구의 부피는 V = (4/3) × π × 125 ≈ 523.6 cm³입니다. 이 공식은 아르키메데스가 구를 외접 원기둥과 비교하여 처음 증명했습니다.

구의 겉넓이는 어떻게 계산합니까?

구의 겉넓이는 A = 4πr²입니다. r = 5 cm이면 A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314.2 cm²입니다. 아르키메데스는 구의 겉넓이가 외접 원기둥의 옆면적과 같다는 사실을 증명하여 이를 자신의 묘비에 새겼습니다.

반지름을 두 배로 늘리면 부피는 어떻게 됩니까?

부피는 r³에 비례하므로 반지름을 두 배로 늘리면 부피는 2³ = 8배가 됩니다. r = 10 cm인 구는 r = 5 cm인 구보다 8배 더 큰 부피를 가집니다. 반지름을 3배로 늘리면 부피는 27배가 됩니다.

부피에서 반지름을 구하려면 어떻게 합니까?

V = (4/3)πr³에서 r을 구하면 r = ∛(3V / (4π))입니다. 예를 들어 V = 1 m³이면 r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0.6204 m입니다.