최종 업데이트: 2026-07-01

벡터 사영

벡터 a를 벡터 b에 사영하는 것은 간단한 질문에 답하는 일입니다. a 중에서 얼마만큼이 b 방향을 향하고 있는가? 답은 두 가지 형태로 나옵니다. 하나의 수(스칼라 사영)와 하나의 완전한 벡터(벡터 사영)입니다. 나머지 성분과 함께 보면 a를 b에 나란한 부분과 수직인 부분으로 분해할 수 있습니다.

스칼라 사영

a의 b에 대한 스칼라 사영은 a를 b 방향으로 측정한 부호 있는 길이입니다.

a가 b와 같은 방향으로 기울면 양수, 수직이면 0, 반대 방향으로 기울면 음수가 됩니다.

벡터 사영

벡터 사영은 b 방향을 향하고 그 길이가 스칼라 사영의 절댓값과 같은 벡터입니다.

계수 $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}$는 결과가 a의 끝점 바로 "아래"에 오도록 b의 크기를 조정합니다.

나머지 성분

나머지 성분은 사영을 제거한 뒤 a에 남는 부분입니다.

이는 b에 수직이므로 사영과 나머지 성분은 서로 직교하며, 더하면 다시 원래 벡터가 됩니다. $\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$.

풀이 예시

a = (3, 4, 0), b = (1, 0, 0)이라 하겠습니다.

먼저 내적을 구합니다.

b의 크기는 $|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1$이므로 스칼라 사영은 다음과 같습니다.

벡터 사영은 계수 $\frac{3}{1} = 3$을 사용합니다.

나머지 성분은 수직으로 남는 부분입니다.

예상대로 (3, 0, 0)과 (0, 4, 0)은 서로 수직이며, 더하면 다시 (3, 4, 0)이 됩니다.

2차원과 3차원

같은 공식이 모든 차원에서 성립합니다. 평면(2차원) 문제에서는 z 성분을 0으로 두고 x와 y 결과를 읽으면 됩니다. z 출력은 0으로 유지됩니다.

일과의 관계

물리에서 일정한 힘이 한 일은 힘과 변위의 내적입니다.

이는 힘의 크기에 변위의 힘 방향 스칼라 사영을 곱한 것입니다. 운동 방향을 따르는 힘 성분만 일을 하며, 수직 성분(나머지 성분)은 아무런 기여도 하지 않습니다. 같은 원리로 경사면 위 물체의 무게를 비탈을 따라 미끄러뜨리는 성분과 표면을 누르는 성분으로 분해할 수 있습니다.

응용

• 그람-슈미트 직교화: 각 벡터에서 앞선 벡터들에 대한 사영을 빼서 직교 기저를 만듭니다.
• 최소제곱 근사: 부분공간 안에서 한 점의 최적 근사는 그 부분공간으로의 사영입니다.
• 컴퓨터 그래픽스: 빛이나 시선 방향을 표면에 사영하여 음영과 그림자 길이를 계산합니다.
• 힘의 분해: 경사면처럼, 힘을 어떤 방향에 나란한 성분과 수직인 성분으로 나눕니다.