최종 업데이트: 2026-06-23

카이제곱 적합도 검정

카이제곱 적합도 검정은 한 가지 질문을 던집니다. 관측된 범주별 빈도가 어떤 가설이 예측하는 빈도와 맞는가? 이는 하나의 범주형 표본을 이론적 분포와 비교하는 표준 도구로, 주사위가 공정한지, 유전적 교배가 9:3:3:1 비율을 따르는지, 사탕 봉지 속 색깔이 광고된 비율로 나타나는지를 확인합니다. 각 범주에서 실제로 관측한 빈도와 영가설에서 기대되는 빈도를 입력하면, 검정은 통계량과 그 자유도, 그리고 p값을 돌려줍니다.

통계량

검정은 관측과 기대 사이의 격차를 피어슨 통계량으로 요약합니다.

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

여기서 $O_i$는 범주 $i$의 관측 빈도, $E_i$는 기대 빈도, $k$는 범주 수입니다. 각 항은 한 범주가 예측에서 얼마나 벗어났는지를 측정합니다. 편차를 제곱하는 것은 초과와 부족이 서로 상쇄되지 않고 둘 다 가설에 반하는 근거로 작용하게 하고, 절대적으로 큰 격차가 더 무겁게 반영되도록 하기 위해서입니다. $E_i$로 나누는 것은 각 제곱 편차를 표준화합니다. 다섯 건만 기대된 곳에서 열 건의 차이는 심각한 불일치이지만 오천 건이 기대된 곳에서는 사소합니다. 기대 빈도로 나누면 모든 범주가 비교 가능한 척도 위에 놓입니다. 범주별로 합하면 자료가 가설에서 멀어질수록 커지는 하나의 숫자가 나옵니다. 관측 빈도가 기대 빈도와 정확히 같으면 모든 항이 영이 되어 $\chi^2 = 0$입니다.

자유도와 p값

이 통계량은 자유도로 모양이 정해지는 카이제곱 분포와 비교됩니다. 단순 적합도 검정에서는 다음과 같습니다.

$\text{df} = k - 1$

범주 빈도가 알려진 합계에 더해져야 하기 때문에 자유도 하나가 쓰입니다. 처음 k − 1개 빈도가 정해지면 마지막 하나는 자동으로 결정되므로, 자유롭게 변할 수 있는 것은 k − 1개뿐입니다. (기대 분포 자체를 자료에서 추가 모수로 추정한다면, 추정한 모수마다 자유도를 하나씩 더 뺍니다.)

p값은 상측 확률입니다. 영가설이 참일 때 관측된 통계량 이상으로 큰 값이 나올 확률이지요. 적합도는 본질적으로 단측, 상측 검정입니다. $\chi^2$의 큰 값만이 적합도가 나쁘다는 신호이고, 작은 값은 자료가 예측에 가깝다는 뜻이기 때문입니다. p값을 유의수준 $\alpha$와 비교합니다. 흔히 다섯 퍼센트를 씁니다. $p < \alpha$이면 불일치가 표집 잡음으로 편하게 설명하기에는 크므로, 자료가 기대 분포를 따른다는 가설을 기각합니다. $p \ge \alpha$이면 자료가 가설과 일치하는데, 이것이 가설이 참임을 증명하는 것은 아닙니다.

예제

어떤 매장이 세 계산대의 통행량을 100명의 고객에 대해 40:40:20으로 나뉠 것으로 기대하는데, 어느 오후 50명, 30명, 20명을 기록했다고 가정합니다. 기대 빈도는 40, 40, 20입니다. 그러면 다음과 같습니다.

범주가 셋이므로 검정의 자유도는 2입니다. 자유도 2에서 $\chi^2 = 5$의 상측 p값은 약 $0.082 \approx p$입니다. $p \gt 0.05$이므로 관측된 분포는 5% 수준에서 기대된 40:40:20 분포와 일치합니다. 처음 두 계산대 사이의 불균형으로 보이는 것은 보통의 표집 변동 안에 있습니다.

가정

카이제곱 근사는 몇 가지 조건에 기댑니다. 기대 빈도는 어느 정도 커야 합니다. 흔히 쓰이는 대략적인 기준은 모든 기대 빈도가 최소 5 이상일 것을 요구하며, 여러 개가 그보다 작으면 빈도가 적은 범주를 합치거나 정확 검정을 대신 사용합니다. 관측은 독립적이어야 하고, 각 단위는 정확히 하나의 범주에만 속해야 합니다. 또한 검정은 백분율이나 비율이 아니라 원자료 빈도에 작동합니다. 가설이 비율로 진술되었다면, 검정을 수행하기 전에 각 비율에 전체 표본 크기를 곱해 기대 빈도를 구하고, 기대 빈도가 관측 빈도와 합계가 같은지 확인하십시오.

두 집단의 평균을 범주형 빈도 대신 비교하려면 독립 표본 t검정 (웰치)를 참고하고, z 통계량을 꼬리 확률로 바꾸려면 z값으로 p값 구하기를 참고하십시오.