최종 업데이트: 2026-07-01

정의

이항정리는 두 항의 합의 거듭제곱을 여러 항의 합으로 전개합니다.

각 항은 이항계수 $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ 에 $(n-k)$ 제곱한 $a$ 와 $k$ 제곱한 $b$ 를 곱한 것입니다. $k$ 가 $0$ 에서 $n$ 까지 움직이면 $a$ 의 지수는 $n$ 에서 $0$ 으로 줄고 $b$ 의 지수는 $0$ 에서 $n$ 으로 늘어, 두 지수의 합은 항상 $n$ 입니다.

일반항

번호 $k$ ($0$ 부터 셈)의 항 하나는 다음과 같습니다.

이것이 항 번호 입력란에서 구하는 값입니다. $k = 0$ 이면 첫 항 $a^n$, $k = n$ 이면 마지막 항 $b^n$ 이 됩니다. 특정 계수나 주어진 차수를 담은 항만 필요할 때, 전개식 전체를 쓰지 않고도 한 항씩 읽을 수 있어 편리합니다.

계산 예

$(2 + 3)^4$ 에서 $k = 2$ 인 항을 구합니다. 먼저 계수는 다음과 같습니다.

다음으로 항 전체 $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$ 을 계산합니다.

전개식 전체는 $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$ 이며, 검산으로 $5^4$ 과 일치합니다.

계수와 파스칼 삼각형

계수 $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ 은 꼭짓점을 $0$ 번째 행으로 셀 때 파스칼 삼각형의 $n$ 번째 행을 이룹니다. 다음 점화식을 따릅니다.

즉 각 원소는 바로 위 두 원소의 합입니다. $(a + b)^3$ 의 행은 $1, 3, 3, 1$, $(a + b)^4$ 의 행은 $1, 4, 6, 4, 1$ 입니다. 위 계수 그래프는 이 행을 그대로 그립니다.

대칭성

이항계수는 대칭입니다.

따라서 한 행은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같습니다. 이는 어떤 $k$ 개의 인수에서 $b$ 를 고르는 것이 어떤 $n-k$ 개의 인수에서 $a$ 를 고르는 것과 같다는 사실을 반영합니다.

계수의 합

$a = b = 1$ 로 두면 정리는 간결한 항등식이 됩니다.

따라서 어느 행이든 계수의 합은 2 의 거듭제곱입니다. $n = 3$ 인 행의 합은 $8$, $n = 6$ 인 행의 합은 $64$ 입니다. $a = 1, b = -1$ 로 두면 교대합을 얻으며, 이는 $n \geq 1$ 인 모든 경우에 $0$ 입니다.

주요 응용

• 대수: 거듭제곱된 다항식의 전개와 식의 정리.
• 확률: 계수는 이항분포를 뒷받침하며, $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 은 $n$ 번 시행에서 $k$ 번 성공할 확률입니다.
• 근사: 작은 $x$ 에 대해 $(1 + x)^n$ 의 처음 두 항만 남기면 근삿값 $1 + nx$ 를 얻습니다.
• 조합론: 행의 합 $2^n$ 이나 교대합 $0$ 같은 항등식이 정리에서 곧바로 따라 나옵니다.

실용적인 참고 사항

정수 지수가 필요합니다. 위 형태는 $n$ 이 정수임을 전제로 합니다. 분수나 음의 지수에는 무한합인 일반화 이항급수를 쓰며, 이는 별개의 주제입니다.

첫 항과 마지막 항. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ 이므로 모든 전개식의 첫 계수와 마지막 계수는 $1$ 입니다.

계수만, 즉 $a$ 와 $b$ 의 거듭제곱을 뺀 "$n$ 개에서 $k$ 개를 고르는" 값이 필요하면 조합 계산기 — C(n, r) 을 이용하십시오.