최종 업데이트: 2026-07-02

타원의 초점

표준 위치에 놓인 타원은 다음 식으로 나타냅니다.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

여기서 $a$ 는 x 방향의 반축, $b$ 는 y 방향의 반축입니다. 모든 타원에는 내부에 두 개의 특별한 점, 즉 초점이 있습니다. 이 두 점이 타원을 타원답게 만듭니다. 곡선 위 어느 점에서든 두 초점까지의 거리의 합이 일정하기 때문입니다. 두 개의 압정에 실 고리를 걸고 연필로 팽팽하게 당긴 채 따라 그리면, 그 압정을 초점으로 하는 타원이 그려집니다.

이 도구는 $a$ 와 $b$ 로부터 초점 거리, 초점 자체, 이심률, 꼭짓점, 그리고 장축과 단축의 길이를 구합니다.

반장축과 반단축

두 축 중 긴 쪽이 장축, 짧은 쪽이 단축이며, 각각의 절반이 반축입니다. 식을 방향에 상관없게 만들기 위해 큰 반축을 $A$, 작은 반축을 $B$ 라 합시다.

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

초점은 항상 장축 위에 있습니다. $a > b$ 이면 장축은 가로, $b > a$ 이면 세로입니다.

초점 거리

중심에서 각 초점까지의 거리 $c$ 는 반축에서 구합니다.

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

$A \ge B$ 이므로 근호 안은 절대 음수가 되지 않습니다. 가로형 타원에서는 초점이 $(\pm c, 0)$, 세로형에서는 $(0, \pm c)$ 에 있습니다.

이심률

이심률은 타원이 원에서 얼마나 벗어났는지를 나타냅니다.

$e = \frac{c}{A}$

항상 $0 \le e < 1$ 을 만족합니다. $a = b$ 이면 두 반축이 같아 $c = 0$, $e = 0$ 으로 원이 됩니다. 한 축이 다른 축보다 커질수록 $e$ 는 $1$ 에 가까워지고 타원은 길고 좁아집니다.

꼭짓점과 축의 길이

꼭짓점은 장축의 양 끝점으로, 중심에서 거리 $A$ 만큼 떨어져 있습니다. 가로형이면 $(\pm A, 0)$, 세로형이면 $(0, \pm A)$ 입니다. 단축의 양 끝점은 공꼭짓점이라 합니다. 축의 전체 길이는 다음과 같습니다.

$\text{장축} = 2A \qquad \text{단축} = 2B$

풀이 예제

문제: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 의 초점, 이심률, 축의 길이를 구하시오.

1단계 — 반축 읽기: $a^2 = 25$ 이므로 $a = 5$, $b^2 = 9$ 이므로 $b = 3$. $a > b$ 이므로 장축은 가로이고 $A = 5$, $B = 3$.

2단계 — 초점 거리:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

3단계 — 초점: 가로 장축 위 $(\pm 4, 0)$ 에 있으므로 $F_1 = (-4, 0)$, $F_2 = (4, 0)$.

4단계 — 이심률:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0.8$

5단계 — 꼭짓점과 축: 꼭짓점은 $(\pm 5, 0)$; 장축 $2A = 10$, 단축 $2B = 6$.

따라서 이 타원의 초점은 $(-4, 0)$ 과 $(4, 0)$, 이심률은 $0.8$, 축의 길이는 $10$ 과 $6$ 입니다.

세로형 타원

$b > a$ 이면 폭보다 높이가 커서 장축이 세로가 됩니다. 역할이 그대로 바뀌어 $A = b$, $B = a$ 가 되고, 초점은 y 축 위의 $(0, \pm c)$ 로 이동합니다. 예를 들어 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ 은 $A = 5$, $B = 3$ 으로 앞과 같은 $c = 4$ 이지만 초점은 $(0, -4)$ 와 $(0, 4)$ 입니다. 이 도구는 더 큰 반축을 기준으로 방향을 자동으로 정합니다.

거리의 합이 일정한 이유

타원을 정의하는 성질 $r_1 + r_2 = 2A$ 는 $c$ 와 직접 연결됩니다. 장축 위의 꼭짓점에서는 한 초점 반지름이 $A + c$, 다른 하나가 $A - c$ 이므로 그 합은 $2A$ 입니다. 공꼭짓점에서는 대칭성에 의해 두 반지름이 같고, 각각 한 초점에서 거리 $\sqrt{B^2 + c^2}$ 만큼입니다. 이것을 $A$ 와 같다고 놓으면 $A^2 = B^2 + c^2$ 가 되고, 이를 정리하면 $c = \sqrt{A^2 - B^2}$ 입니다. 이 하나의 관계식이 초점, 축, 이심률을 서로 묶어 줍니다.