최종 업데이트: 2026-06-05

행렬 곱셈이란

행렬 곱셈(matrix multiplication)은 두 행렬 A와 B로부터 새로운 행렬 C = A·B를 구하는 연산입니다. 이 계산기는 2×2 및 3×3 정방행렬의 곱을 지원합니다. 크기를 선택하고 각 행렬의 성분을 입력하면 곱 행렬이 표시됩니다.

계산 공식

곱 행렬 C의 (i, j) 위치 성분 $c_{ij}$는 행렬 A의 i번째 행과 행렬 B의 j번째 열의 내적(inner product)으로 정의됩니다.

$$c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}$$

2×2 행렬의 경우 전개하면 다음과 같습니다.

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

n×n 행렬끼리의 곱에서는 각 성분을 구하는 데 n번의 곱셈과 (n−1)번의 덧셈이 필요하므로, 전체 연산량은 O(n³)에 해당합니다.

계산 예시 (2×2)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

각 성분을 순서대로 계산합니다.

① (1,1) 성분: A의 1행과 B의 1열의 내적

$c_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19$

② (1,2) 성분: A의 1행과 B의 2열의 내적

$c_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = 22$

③ (2,1) 성분: A의 2행과 B의 1열의 내적

$c_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = 43$

④ (2,2) 성분: A의 2행과 B의 2열의 내적

$c_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = 50$

따라서 $A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$입니다.

교환법칙 미성립

행렬 곱셈에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 위 예시에서 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다.

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

A·B와 B·A는 서로 다른 행렬입니다. 이는 실수 곱셈에서 3×5 = 5×3이 항상 성립하는 것과 근본적으로 다른 성질입니다. 기하학적으로 보면, A·B는 "먼저 B 변환, 그 다음 A 변환"을 의미하는 반면, B·A는 그 순서가 반대입니다. 변환을 적용하는 순서가 달라지면 최종 결과도 달라집니다.

기하학적 의미

정방행렬은 벡터 공간에 가하는 선형 변환을 나타냅니다. 구체적으로 회전, 축척, 반사, 전단 등의 변환을 행렬 하나로 표현할 수 있습니다.

A·B를 계산하는 것은 두 선형 변환을 합성하는 것과 같습니다. B가 나타내는 변환을 먼저 적용하고, 이어서 A가 나타내는 변환을 적용한 결과가 A·B에 해당합니다.

또한 행렬 곱셈은 결합법칙이 성립합니다.

$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$

교환법칙은 성립하지 않지만 결합법칙은 성립한다는 점이 행렬 곱셈의 중요한 특성입니다.

단위행렬

n×n 단위행렬(identity matrix) I는 대각 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0인 행렬입니다. 실수에서 1을 곱했을 때 값이 변하지 않는 것처럼, 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 원래 행렬이 그대로 유지됩니다.

$A \cdot I = I \cdot A = A$

기하학적으로 단위행렬은 벡터를 전혀 변환하지 않는 항등 변환(identity transformation)에 해당합니다.

응용 분야

행렬 곱셈은 여러 선형 변환을 연속으로 적용하는 모든 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.

• 3D 그래픽: 회전·축척·평행이동은 각각 4×4 행렬(동차 좌표계)로 표현됩니다. 여러 변환을 미리 합성해 단일 행렬로 만들면, 각 꼭짓점에 그 행렬 하나만 곱하면 됩니다. GPU가 행렬 곱셈 연산에 특화된 이유가 여기에 있습니다.
• 연립방정식: Ax = b 형태의 연립방정식은 계수 행렬 A의 역행렬 A⁻¹을 구해 x = A⁻¹b로 풀 수 있습니다.
• 신경망: 완전 연결 신경망의 각 층은 가중치 행렬의 곱셈과 편향 덧셈으로 이루어진 아핀 변환(affine transformation)을 수행합니다. 대규모 언어 모델의 추론 속도 역시 행렬 곱셈 성능에 크게 좌우됩니다.
• 마르코프 연쇄: 전이 행렬(transition matrix)을 k번 거듭 곱하면 k번의 상태 전이 후 확률 분포를 구할 수 있습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

행렬 곱셈에서 교환법칙이 성립합니까?

일반적으로 A·B ≠ B·A입니다. 예를 들어 A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]]이면 A·B = [[19,22],[43,50]]이지만 B·A = [[23,34],[31,46]]으로 서로 다릅니다. 단위행렬이나 대각행렬처럼 특수한 경우에는 교환법칙이 성립하기도 하지만, 이는 예외적인 상황입니다.

행렬 곱셈은 기하학적으로 어떤 의미입니까?

정방행렬은 벡터 공간에 가하는 선형 변환, 즉 회전·반사·축척·전단(shear)의 조합을 나타냅니다. A·B를 계산하는 것은 두 변환을 합성하는 것과 같습니다. 먼저 B에 해당하는 변환을 적용한 뒤 A에 해당하는 변환을 적용한 결과가 A·B입니다. 순서가 다르면 결과도 달라지므로, 교환법칙이 성립하지 않는 이유도 여기에 있습니다.

정방행렬이 아닌 행렬도 곱할 수 있습니까?

행렬 A의 열 수와 행렬 B의 행 수가 같으면 곱셈이 가능합니다. m×n 행렬과 n×p 행렬의 곱은 m×p 행렬이 됩니다. 이 계산기는 선형대수 강의나 2D/3D 그래픽에서 가장 자주 쓰이는 2×2 및 3×3 정방행렬에 집중합니다.

3D 그래픽에서 행렬 곱셈은 어떻게 활용됩니까?

3D 그래픽에서는 회전·축척·평행이동이 각각 4×4 행렬(동차 좌표계)로 표현됩니다. 물체를 순서대로 변환할 때, 개별 변환 행렬들을 미리 곱해 단일 행렬로 합성해 두면 각 꼭짓점에 그 행렬 하나만 적용하면 됩니다. GPU가 행렬 곱셈에 특화된 구조를 갖추고 있는 것도 이 때문입니다.