최종 업데이트: 2026-05-18

각뿔의 정의

각뿔은 다각형 밑면과 꼭짓점(정점)에서 만나는 삼각형 옆면으로 이루어진 입체 도형입니다. 이 계산기는 직사각형(정사각형 포함)을 밑면으로 하는 직각뿔을 다룹니다. 밑면 치수와 높이를 입력하면 부피부터 겉넓이까지 한 번에 구할 수 있습니다.

공식

밑면 가로 $l$, 밑면 세로 $w$, 수직 높이 $h$를 이용합니다.

밑넓이:

$$A_b = l \times w$$

부피 — 같은 밑면·높이의 기둥 부피의 $\frac{1}{3}$:

$$V = \frac{1}{3} \times A_b \times h = \frac{l \times w \times h}{3}$$

사면 높이(사고) — 꼭짓점에서 밑면 모서리의 중점까지의 거리. 직사각형 밑면에서는 앞뒤와 좌우 면의 사면 높이가 다릅니다:

$$l_{s,w} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2} \quad \text{(앞면/뒷면)}$$ $$l_{s,l} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} \quad \text{(왼쪽/오른쪽 면)}$$

정사각뿔($l = w = a$)에서는 두 값이 같습니다: $l_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}$

옆넓이 — 네 삼각형 면의 넓이 합:

$$A_{lat} = l \cdot l_{s,w} + w \cdot l_{s,l}$$

전체 겉넓이:

$$A_{tot} = A_b + A_{lat}$$

부피 공식에 $\frac{1}{3}$이 있는 이유

각뿔의 부피가 같은 밑면·높이의 기둥의 $\frac{1}{3}$임은 고대부터 알려진 사실입니다. 가장 직관적인 증명은 세 개의 합동인 정사각뿔을 조합하면 정육면체가 완성된다는 것입니다. 각 뿔이 정육면체의 정확히 $\frac{1}{3}$을 차지합니다. 보다 일반적인 증명에서는 카발리에리의 원리를 사용합니다. 높이 $z$에서의 단면적이 $A_b \times (1 - z/h)^2$이고, 이를 $0$에서 $h$까지 적분하면 $\frac{1}{3} A_b h$가 됩니다.

사면 높이와 수직 높이의 차이

수직 높이 $h$는 꼭짓점에서 밑면에 수직으로 내린 거리입니다. 사면 높이 $l_s$는 꼭짓점에서 밑면 모서리의 중점까지 옆면을 따라 잰 거리로, 삼각형 옆면의 높이에 해당합니다. 직각삼각형으로 연결됩니다: $l_s = \sqrt{h^2 + r^2}$ (여기서 $r$은 밑면 중심에서 해당 모서리 중점까지의 거리).

실제로는 각뿔의 옆면에 자를 대고 꼭짓점에서 밑면 모서리 중점까지 재면 사면 높이가 됩니다.

계산 예시: 기자의 대피라미드

기자의 대피라미드(이집트)는 밑변 약 230.4 m의 정사각형, 원래 높이 약 146.5 m입니다.

밑넓이: $A_b = 230.4^2 = 53{,}084 \text{ m}^2 \approx 5.3 \text{ ha}$

부피: $V = \frac{1}{3} \times 53{,}084 \times 146.5 \approx 2{,}592{,}000 \text{ m}^3$

약 260만 세제곱미터로, 올림픽 수영장 약 1,000개 분량에 해당합니다.

사면 높이: $l_s = \sqrt{146.5^2 + 115.2^2} \approx 186.4 \text{ m}$

사각뿔 공식은 고대 구조물뿐 아니라 지붕 공학, 피라미드형 포장재, 건축 모형의 재료량 산출에도 동일하게 적용됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

사각뿔의 부피 공식은 무엇입니까?

사각뿔의 부피는 V = (1/3) × 밑넓이 × 높이입니다. 직사각형 밑면이라면 V = (1/3) × l × w × h로 계산합니다. 40cm × 40cm의 정사각형 밑면에 높이 30cm이면 V = (1/3) × 0.16 × 0.30 ≈ 0.016 m³(약 16리터)입니다.

사각뿔 부피 공식에 왜 1/3이 들어갑니까?

같은 밑면과 높이를 가진 사각기둥(직육면체)을 3개의 합동인 사각뿔로 나눌 수 있습니다. 즉 사각뿔 하나의 부피는 사각기둥의 정확히 1/3입니다. 카발리에리의 원리로도 증명되며, 삼각뿔·원뿔 등 모든 뿔 도형에 공통으로 적용되는 성질입니다.

사각뿔의 사면의 높이(모선)는 어떻게 구합니까?

사면의 높이는 꼭짓점에서 밑면의 변의 중점까지의 거리로, 삼각형 면의 높이에 해당합니다. 앞뒤 면의 경우 l_s = √(h² + (w/2)²)입니다. 정사각형 밑면(l = w = a)이면 l_s = √(h² + (a/2)²)로 계산합니다. 40 × 40cm 밑면에 높이 30cm이면 l_s = √(0.09 + 0.04) ≈ 36.1cm입니다.

정사각뿔의 전체 겉넓이는 어떻게 구합니까?

전체 겉넓이 = 밑넓이 + 옆넓이 = a² + 2 × a × l_s입니다. 4개의 삼각형 면 넓이의 합이 2al_s입니다. a = 40cm, l_s ≈ 36.1cm이면 S = 1,600 + 2 × 40 × 36.1 ≈ 4,488 cm²입니다.