최종 업데이트: 2026-07-13

이 계산기가 하는 일

이 계산기는 세 미지수 x, y, z에 대한 세 일차방정식으로 이루어진 계를 가우스 소거법으로 풉니다.

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

열두 개의 계수와 상수를 첨가행렬로 쓰고, 행 연산으로 그 행렬을 행 사다리꼴로 만든 뒤 후진 대입하여 해 (x, y, z)를 돌려줍니다. 계수 행렬이 특이하면 계에 유일한 해가 없다고 알려줍니다.

첨가행렬

계수와 우변을 쌓으면 첨가행렬이 되며, 세로 막대가 계수 블록과 상수를 구분합니다.

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

가우스 소거법의 각 단계는 이 행렬에 대한 행 연산입니다. 두 행 교환, 한 행에 상수 곱하기, 한 행의 배수를 다른 행에 더하기 — 이 가운데 어느 것도 해집합을 바꾸지 않습니다.

전진 소거

전진 소거의 목표는 열마다 대각선 아래에 0을 만들어 행렬을 상삼각(행 사다리꼴)으로 만드는 것입니다.

1단계 — x 열 없애기. 첫 번째 피벗 a₁을 이용해 행 1의 배수를 행 2와 3에서 뺍니다.

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

2단계 — y 열 없애기. 새로운 두 번째 피벗 b₂′을 이용해 행 2의 배수를 행 3에서 뺍니다.

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

이제 행렬은 상삼각입니다.

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

후진 대입

마지막 행에는 z만 남으므로 바로 풀리고, 값이 위로 전파됩니다.

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

행렬이 삼각형이므로 그 행렬식은 대각선 피벗들의 곱 $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$ 로 간단히 주어집니다. 곱이 0이 아니면 유일한 해가 확정됩니다.

예제 풀이

기본 계를 풀어봅시다.

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

1단계 — 승수와 첫 번째 소거. 피벗 a₁ = 2일 때,

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

이 배수들을 행 1에서 빼면

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

2단계 — y 열 없애기. 피벗 b₂′ = 1/2일 때,

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

3단계 — 후진 대입:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

행렬식은 피벗들의 곱 $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$ 이므로 유일한 해 (x, y, z) = (2, 3, −1)이 확정됩니다.

검산:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

소거가 멈출 때

위의 깔끔한 소거를 방해하는 상황이 두 가지 있습니다.

• 피벗이 0이지만 특이하지 않은 계. 대각선 계수가 0이면 — 예를 들어 첫 방정식에 x 항이 없을 때 — 승수가 0으로 나누게 됩니다. 해결책은 부분 피벗팅입니다. 문제의 행을 그 열에 0이 아닌 성분을 가진 아래 행과 교환한 뒤 계속합니다. 해는 바뀌지 않고 행의 순서만 달라집니다. 수치 소프트웨어는 반올림 오차를 줄이려고 사용 가능한 가장 큰 피벗으로도 교환합니다.
• 고칠 수 없는 0 피벗. 소거 결과 계수 열 전체에 걸쳐 0만 있는 행이 생기면 행렬식이 0이고 계수 행렬은 특이합니다. 그러면 계는 해가 무수히 많거나(상수가 종속 관계와 양립) 전혀 없습니다(모순). 유일한 (x, y, z)는 존재하지 않습니다.

가우스 소거법과 크라메르 공식

두 방법 모두 특이하지 않은 계에서는 같은 답을 줍니다. 크라메르 공식은 각 미지수를 행렬식의 비로 나타내어 3×3에서는 산뜻하지만 크기가 커질수록 비용이 커집니다. 가우스 소거법은 행 연산으로 계 전체를 변형하여 훨씬 잘 확장되며, 수치 라이브러리의 선형 해법의 뼈대입니다. 각 피벗을 1로 만들고 그 위 성분도 없애는 기약 행 사다리꼴(RREF)까지 줄이면, 별도의 후진 대입 없이 해를 바로 읽을 수 있습니다.

활용

세 변수 계는 대수와 미적분 준비 과정, 세 폐회로에 키르히호프 법칙을 적용하는 회로 해석, 화학 반응식 균형 맞추기, 그리고 세 일차 조건이 동시에 성립해야 하는 모든 상황에 나타납니다. 가우스 소거법은 이러한 계의 표준적인 손 계산법이자 LU 분해와 대부분의 전산 선형대수의 개념적 출발점입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

가우스 소거법이란 무엇인가요?

가우스 소거법은 방정식들을 결합하여 연립방정식을 체계적으로 푸는 방법입니다. 계를 첨가행렬로 쓰고, 한 행의 배수를 다른 행에서 빼서 대각선 아래에 0을 만들어 상삼각(행 사다리꼴) 형태에 이릅니다. 그러면 마지막 행에는 미지수가 하나만 남고, 후진 대입으로 나머지를 아래에서 위로 구합니다.

크라메르 공식과 어떻게 다른가요?

둘 다 같은 해에 도달합니다. 크라메르 공식은 각 미지수를 행렬식의 비로 나타내어 3×3에서는 간결하지만 크기가 커질수록 비용이 급증합니다. 가우스 소거법은 행 연산으로 계 전체를 변형하여 큰 계에 훨씬 잘 확장되며, 대부분의 수치 선형대수 소프트웨어의 바탕이 됩니다. 이 도구는 소거 단계를 보여주고, 행렬식은 피벗들의 곱으로 제시합니다.

행 사다리꼴(REF)과 기약 행 사다리꼴(RREF)의 차이는 무엇인가요?

행 사다리꼴(REF)은 각 선행 성분 아래가 모두 0인 상삼각 형태로, 후진 대입으로 마무리합니다. 기약 행 사다리꼴(RREF)은 한 걸음 더 나아가 각 선행 성분을 1로 만들고 그 위 성분도 없애므로 해를 바로 읽을 수 있습니다. 이 계산기는 REF까지 줄인 뒤 후진 대입하는, 가우스 소거법의 고전적 경로를 따릅니다.

왜 "유일한 해 없음"이 표시되나요?

이 메시지는 행렬식이 0일 때 나타나며, 한 방정식이 다른 방정식들의 선형결합임을 뜻합니다. 그러면 소거 과정에서 계수 열에 0만 있는 행이 생깁니다. 상수에 따라 계는 해가 무수히 많거나 전혀 없습니다. 유일한 해는 세 피벗이 모두 0이 아닐 때만 존재합니다.

소거 중에 행을 왜 교환하나요?

나눗셈에 쓸 피벗이 0이면 유일한 해가 있는 계라도 자연스러운 소거 순서가 무너집니다. 문제의 행을 그 아래 행과 교환(부분 피벗팅)하여 대각선에 0이 아닌 성분을 두면 소거를 계속할 수 있습니다. 수치 소프트웨어는 반올림 오차를 작게 유지하려고 사용 가능한 가장 큰 피벗을 고르기 위해서도 행을 교환합니다.