최종 업데이트: 2026-06-23

평균의 표본 크기가 중요한 이유

설문이나 실험이 어떤 평균 — 평균 대기 시간, 평균 혈압, 평균 가계 지출 — 을 추정하려 할 때, 표본 크기가 그 추정의 정밀도를 좌우합니다. 대상자가 너무 적으면 신뢰구간이 넓어 결과가 거의 아무것도 말해주지 못하고, 너무 많으면 연구가 시간과 비용을 낭비합니다. 표본 크기를 미리 계획하면 관측값 하나를 수집하기도 전에 원하는 정밀도를 정해 둘 수 있습니다.

모평균을 추정하는 데 필요한 표본 크기는 신뢰구간의 폭에서 곧바로 도출됩니다.

각 항의 의미는 다음과 같습니다.

• $n$ — 필요한 최소 관측 수입니다.
• $z$ — 신뢰수준에 해당하는 표준정규 임계값입니다. 90%는 1.645, 95%는 1.96, 99%는 2.576입니다.
• $\sigma$ — 모집단 표준편차로, 값이 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 척도입니다.
• $E$ — 오차범위로, 추정 평균 주위로 원하는 ± 정밀도이며 $\sigma$와 같은 단위입니다.

정밀도는 오차범위의 제곱에 따라 좁아집니다: 오차범위를 절반으로 줄이면 표본은 네 배가 됩니다. 마찬가지로 산포 $\sigma$를 두 배로 하면 표본이 네 배가 되고, 95%에서 99% 신뢰수준으로 옮기면 임계값이 1.96에서 2.576으로 올라 필요 표본이 대략 1.7배가 됩니다.

σ 값 정하기

공식에는 표준편차가 필요하지만, $\sigma$는 연구를 시작하기 전에 알려지는 경우가 거의 없습니다. 다음 세 가지 실용적인 추정 방법이 대부분의 경우를 포괄합니다.

• 예비 조사. 소규모 관측값을 모아 그 표본 표준편차를 $\sigma$의 대용값으로 사용합니다.
• 과거 자료. 비슷한 모집단에 대한 이전 연구나 발표된 통계의 표준편차를 재사용합니다.
• 범위 규칙. 그럴듯한 최솟값과 최댓값만 알 때는 $\sigma \approx (\text{최댓값} - \text{최솟값}) / 4$로 근사합니다. 대략 정규에 가까운 범위의 대부분이 약 네 개의 표준편차에 걸쳐 있기 때문입니다.

다소 보수적인(큰) 추정값이 안전한 선택입니다: 검정력이 부족한 쪽이 아니라 표본이 큰 쪽으로 밀어 주기 때문입니다.

계산 예시

95% 신뢰수준에서 평균을 ±2단위 안에서 추정하려 하고, 과거 자료가 표준편차 약 15를 시사한다고 합시다. 임계값 1.96, $\sigma = 15$, 오차범위 2를 쓰면 다음과 같습니다.

정확한 공식은 216.09를 내놓지만 대상자를 소수로 조사할 수는 없고, 내림하면 오차범위가 요구한 것보다 약간 넓어집니다. 결과는 항상 올림하며 — 여기서는 217개 관측값이 됩니다.

z만으로 부족할 때

위 공식은 표본 크기 계획의 표준 관례인 정규값 $z$를 사용합니다. 다음 두 가지 주의점을 염두에 둘 만합니다.

작은 표본과 미지의 σ. $z$ 값은 큰 표본을 가정합니다. 최종 자료가 작고(대략 서른 미만) $\sigma$를 자료에서 추정한 경우에는 분석 자체에 $z$ 대신 더 넓은 $t$ 분포를 써야 합니다. 다만 계획 단계에서는 아직 $n$을 모르므로 $z$가 일반적인 출발점이며, $n$이 커지면 $z$와 $t$의 간격은 미미해집니다.

유한모집단. 기본 공식은 사실상 무한한 모집단에서의 추출을 가정합니다. 표본이 크기 $N$의 작은 유한모집단에서 상당한 부분을 차지한다면 유한모집단 수정을 적용하며, 이는 필요 표본을 낮춥니다.

평균이 아니라 비율을 추정하려면 계획 공식의 형태가 달라집니다 — 표본 크기 계산 (비율)을 참고하십시오. 반대 방향으로, 이미 가진 표본이 함의하는 오차범위를 구하려면 오차 한계 계산를 사용합니다.