최종 업데이트: 2026-05-21

삼각형: 기하학에서 가장 단순한 다각형

삼각형은 세 변과 세 각으로 이루어진 다각형으로, 2차원 기하학에서 가장 단순한 닫힌 도형입니다. 이 계산기는 네 가지 방법을 제공합니다. 밑변과 높이, 헤론의 공식(세 변), SAS(두 변과 끼인각), ASA(한 변과 두 각)입니다.

밑변과 높이를 이용하는 방법

가장 직접적인 공식은 다음과 같습니다.

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

여기서 $b$는 선택한 밑변의 길이이고, $h$는 수직 높이, 즉 밑변에서 마주보는 꼭짓점까지의 수직 거리입니다.

이 공식은 모든 삼각형 유형에 적용됩니다.

• 예각삼각형: 높이의 수선의 발이 밑변 안쪽에 있습니다.
• 직각삼각형: 한 직각 변이 밑변이 되고 다른 변이 높이가 됩니다.
• 둔각삼각형: 수선의 발이 밑변 바깥에 있지만 공식은 그대로 적용됩니다.

½을 곱하는 이유

삼각형은 같은 밑변과 높이를 가진 평행사변형의 정확히 절반입니다. 삼각형을 복사해 180° 회전하고 한 변을 따라 붙이면 넓이가 $b \times h$인 평행사변형이 됩니다. 따라서 삼각형의 넓이는 $\frac{b \times h}{2}$입니다.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알고 높이나 각도를 모를 때는 헤론의 공식으로 넓이를 직접 구할 수 있습니다.

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

여기서 $s$는 반둘레(둘레의 절반)입니다. 이 공식은 알렉산드리아의 헤론(기원후 약 60년)에게서 유래했습니다.

풀이 예시: 3-4-5 직각삼각형

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

밑변과 높이로 검산: 변 3과 4는 서로 수직이므로 $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. 두 방법 모두 같은 결과를 냅니다.

SAS: 두 변과 끼인각

두 변 $p$, $q$와 그 사이 각 $C$를 알면 넓이는 다음과 같습니다.

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

밑변과 높이 공식에서 도출됩니다. $p$를 밑변으로 하면 높이는 $q \sin C$($q$의 $p$에 대한 수직 성분)입니다.

예: $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16$

$C = 90°$이면 $\sin 90° = 1$이 되어 직각삼각형의 넓이 공식 $\frac{1}{2} p q$로 간단해집니다.

ASA: 한 변과 두 각

변 $c$와 그 양 끝 각 $A$, $B$를 알면 넓이는 다음과 같습니다.

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

사인 법칙을 이용해 나머지 두 변을 $c$로 나타낸 뒤 SAS 공식에 대입하여 유도합니다. 세 번째 각은 $C = 180° - A - B$입니다.

예: $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$(따라서 $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22.6$

삼각 부등식

세 양수가 모두 삼각형을 이루는 것은 아닙니다. 세 길이 $a$, $b$, $c$가 삼각형을 이루려면 다음 조건이 모두 충족되어야 합니다.

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

이 세 조건 중 하나라도 성립하지 않으면 삼각형을 만들 수 없습니다. 헤론의 공식에서 이 조건을 위반하면 제곱근 안의 값이 음수가 되어 기하학적으로 불가능한 입력임을 알 수 있습니다.

변의 길이	유효 여부	이유
3, 4, 5	유효	3+4=7 > 5 ✓
1, 2, 10	무효	1+2=3 < 10 ✗
5, 5, 5	유효	정삼각형 ✓

실생활 응용

건축 및 토목. 삼각형 트러스 구조는 지붕, 교량, 크레인의 골격입니다. 삼각형은 하중을 받아도 변형되지 않는 유일한 다각형입니다.

측량. 측량사들은 토지의 세 변을 측정하고 헤론의 공식으로 면적을 계산합니다. 수선을 세울 필요가 없습니다.

컴퓨터 그래픽. 모든 3D 표면은 삼각형 메시로 근사됩니다. GPU는 삼각형 넓이를 계산해 조명, 그림자, 충돌 감지를 처리합니다.

항법. 삼각측량은 세 개의 알려진 기준점을 이용해 미지의 위치를 파악합니다.

직각삼각형이라면 피타고라스 정리 계산기로 모자란 변의 길이를 먼저 구한 뒤 넓이를 계산할 수 있습니다. 관련 도형은 원의 넓이와 둘레 계산기와 정다각형 계산기도 참고하세요.

자주 묻는 질문 (FAQ)

삼각형의 넓이 공식은 무엇인가요?

가장 일반적인 공식은 S = ½ × 밑변 × 높이입니다. 높이는 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지의 수직 거리입니다. 밑변과 그에 대응하는 높이를 알면 모든 삼각형에 적용할 수 있습니다.

헤론의 공식이란 무엇인가요?

헤론의 공식은 높이 없이 세 변 a, b, c만으로 삼각형의 넓이를 구합니다. 먼저 반둘레 s = (a + b + c) ÷ 2를 구하고, 넓이 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))를 사용합니다. 3-4-5 직각삼각형: s = 6, 넓이 = 6.

세 변이 삼각형을 이루지 못하는 경우는 언제인가요?

세 변이 삼각형을 이루려면 임의의 두 변의 합이 나머지 변보다 커야 합니다(삼각 부등식). 변이 1, 2, 10이면 1 + 2 = 3 < 10이므로 삼각형이 불가능하고 헤론의 공식에서 근호 안이 음수가 됩니다.

두 변과 끼인각으로 넓이를 구하려면 어떻게 하나요?

두 변 p, q와 그 사이 각 C를 알면 넓이 = ½ × p × q × sin(C)입니다. 예: p = 5, q = 7, C = 60° → 넓이 = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15.16. 삼각형의 높이가 q × sin(C)이기 때문입니다.

한 변과 두 각으로 넓이를 구하려면 어떻게 하나요?

변 c와 그 양 끝 각 A, B를 알면(C = 180° − A − B) 넓이 = c² × sin(A) × sin(B) ÷ (2 × sin(A + B))입니다. 예: c = 8, A = 50°, B = 60° → 넓이 = 64 × sin(50°) × sin(60°) ÷ (2 × sin(110°)) ≈ 22.6.